ہر عدد کو سرخ یا نیلا رنگیں: ہم رنگ حاصل ضرب تقریباً غائب ہو سکتے ہیں

دو رنگین پنسلیں لیں، ایک سرخ اور ایک نیلی، اور ہر مثبت پورے عدد کو ان میں سے کسی ایک سے رنگ دیں۔ اب کسی عدد کو ہم رنگ حاصل ضرب (same-colour product) کہیں اگر اسے دو سرخ اعداد یا دو نیلے اعداد کے حاصل ضرب کے طور پر لکھا جا سکے — ایک ہی عدد کو دو بار لینے کی اجازت ہے، اس لیے 4 = 2 × 2 ہمیشہ شمار ہوتا ہے۔

چار میں سے تین

ایک سادہ مثال دکھاتی ہے کہ یہ کیسے کام کرتا ہے۔ طاق اعداد کو سرخ اور جفت اعداد کو نیلا رنگیں۔ 9 تک، ہم رنگ حاصل ضرب یہ ہیں: 1، 3، 5، 7 اور 9 (طاق ضرب طاق)، اور 4 = 2 × 2 اور 8 = 2 × 4 (جفت ضرب جفت): نو میں سے سات۔ عدد 2 رہ جاتا ہے، کیونکہ اس کی واحد تجزی (factorisation)، 1 × 2، دونوں رنگوں کو ملاتی ہے؛ یہی حال 6 = 1 × 6 = 2 × 3 کا ہے۔ عمومی طور پر، n تک ایسے اعداد کی گنتی (3n + 1)/4 کا صحیح حصہ ہوتی ہے، اس لیے ان کا تناسب تین چوتھائی کی طرف مائل ہوتا ہے۔ رہ جانے والے اعداد 2، 6، 10، 14… ہیں — ہر چار میں سے ایک عدد۔

کیا کوئی زیادہ ہوشیار رنگ بندی اس سے کہیں بہتر کر سکتی ہے؟ یہ پہلے سے معلوم تھا کہ کسی بھی مقررہ رنگ بندی کے لیے، ہم رنگ حاصل ضرب ہمیشہ اعداد کا ایک مثبت حصہ بناتے ہیں۔ اصل سوال، جو Erdős اور Sárközy نے 1990 میں اور پھر 1993 میں پیش کیا، اور جو نظریۂ اعداد کے حل طلب مسائل پر Richard Guy کی کلاسیکی کتاب میں درج ہے، یہ ہے کہ کیا کوئی عالمگیر نچلی حد (universal floor) موجود ہے: ایک مقررہ حصہ جس تک ہر رنگ بندی کو لازماً پہنچنا ہو۔ دوسرے الفاظ میں: کسی بھی چھوٹے عدد ε کے لیے، کیا کوئی ایسی رنگ بندی ہے جس میں ہم رنگ حاصل ضرب کا حصہ، کم از کم کچھ وقفوں پر، ε سے نیچے گر جائے؟ یہ مسئلہ ضربی رامزی نظریے (multiplicative Ramsey theory) سے تعلق رکھتا ہے، جو ایسے نمونوں کا مطالعہ کرتا ہے جن سے کوئی رنگ بندی بچ نہیں سکتی۔

کوئی نچلی حد نہیں

ہیلی فیکس، کینیڈا، کی Dalhousie یونیورسٹی سے وابستہ John M. Campbell نے ثابت کیا ہے کہ کوئی عالمگیر نچلی حد موجود نہیں۔ ہر ε کے لیے، خواہ وہ کتنا ہی چھوٹا ہو، پورے اعداد کی ایک ایسی سرخ و نیلی رنگ بندی موجود ہے جس میں، حد بندی کے نقاط (cut-off points) کے ایک لامتناہی سلسلے پر، اس نقطے تک کے اعداد کا ε سے کم حصہ ہم رنگ حاصل ضرب ہوتا ہے۔

کلیدی خیال ایک آئینہ ہے۔ یہ تعمیر حد بندی کے نقاط کا ایک بڑھتا ہوا سلسلہ N₁, N₂, N₃… اور تبدیلی کے نقاط کا ایک مجموعہ چنتی ہے جہاں رنگ پلٹ جاتا ہے۔ انہیں اس طرح چنا جاتا ہے کہ ہر حد بندی N سے نیچے، ایک عدد x اور اس کا عکس N/x ہمیشہ مخالف رنگوں کے ہوں۔ N کے قریب کا کوئی حاصل ضرب a × b ایک چھوٹے عدد کو ایک ایسے بڑے عدد کے ساتھ جوڑتا ہے جو تقریباً اس کا عکس ہوتا ہے، اس لیے دونوں اجزائے ضربی (factors) کا رنگ تقریباً ہمیشہ مختلف ہوتا ہے۔ نایاب استثنات — ایسے اعداد جن کا کوئی مقسوم علیہ (divisor) ایک تنگ دائرے میں ہو — تحلیلی نظریۂ اعداد (analytic number theory) کے اوزاروں سے گنے جاتے ہیں، جن میں Euler سے منسوب یہ حقیقت بھی شامل ہے کہ مفرد اعداد کے معکوسوں کا مجموعہ، 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …، بغیر کسی حد کے بڑھتا جاتا ہے۔

ایک ناقابلِ رسائی رنگ بندی

یہ رنگ بندی موجود تو ہے، مگر اسے کام کرتے ہوئے کوئی کبھی نہیں دیکھ پائے گا۔ اس کے حد بندی کے نقاط بہت بڑے چننے پڑتے ہیں، اور مقالہ ε = 1/10 کے ہدف کے لیے حساب لگاتا ہے کہ کتنے بڑے۔ پہلی حد بندی کو ایک ایسے عدد سے بڑا ہونا چاہیے جو exp(exp(96,303.3504)) اور exp(exp(96,303.3505)) کے درمیان واقع ہے۔ نتیجتاً، اگر 1 کو سرخ رنگا جائے، تو پہلے 10^(10^41,823) اعداد سب سرخ ہوتے ہیں — ایک ایسی گنتی جس میں خود 10^41,823 سے زیادہ ہندسے ہیں۔ اس سے کہیں آگے جا کر ہی آئینے کی ترکیب اثر دکھانا شروع کرتی ہے۔ کوئی کمپیوٹر کبھی گن کر ایسی رنگ بندی کی جانچ نہیں کر پائے گا۔

ایک AI کی مدد سے ملا جواب

مقالہ کھل کر بتاتا ہے کہ جواب کیسے ملا۔ 18 اکتوبر 2026 کو، Campbell نے Guy کی کتاب سے یہ مسئلہ ایک AI ماڈل، GPT-6 Astra Pro، کو دیا اور اسے حل کرنے کو کہا۔ 13 منٹ اور 53 سیکنڈ کی “سوچ” کے بعد، ماڈل نے جواب دیا کہ ایسا کوئی مستقل موجود نہیں اور ایک تعمیر تجویز کی۔ طویل تبادلوں، تصحیحات اور جانچ پڑتال کے ذریعے مصنف نے پھر ثبوت لکھا، اور اس کے کئی قدم — Markov کی نامساوات کی ایک غیر احتمالی (non-probabilistic) صورت، صورتوں کا ایک تجزیہ (case analysis)، اور ڈائی گیما فنکشن (digamma function) پر ایک نامساوات — مصنف کی اپنی تحقیقات کا نتیجہ قرار دیے گئے ہیں۔ Campbell کا کہنا ہے کہ AI کی ہر تجویز پر نظرِ ثانی کی گئی اور اس کی آزادانہ تصدیق کی گئی، اور ریاضی کی پوری ذمہ داری مصنف پر ہے۔

یہ ثبوت ایک واحد مصنف کا پری پرنٹ (preprint) ہے اور ابھی تک دوسرے ریاضی دانوں نے اس کا جائزہ نہیں لیا۔ یہ نئے سوالات پر ختم ہوتا ہے: اگر صرف مفرد اعداد کو رنگا جائے تو کیا ہوتا ہے، اور کون سی رنگ بندیاں ہم رنگ حاصل ضرب کے حصے کو کسی دی گئی قدر پر ٹھہرا دیتی ہیں — یا اسے کبھی ٹھہرنے ہی نہیں دیتیں؟