प्रत्येक संख्येला लाल किंवा निळा रंग द्या: समान-रंगी गुणाकार जवळजवळ नाहीसे होऊ शकतात

दोन खडू घ्या, एक लाल आणि एक निळा, आणि प्रत्येक धन पूर्णांकाला त्यांपैकी एकाने रंगवा. आता एखादी संख्या दोन लाल संख्यांचा किंवा दोन निळ्या संख्यांचा गुणाकार म्हणून लिहिता येत असेल, तर तिला समान-रंगी गुणाकार म्हणा — तीच संख्या दोनदा घेण्याची मुभा आहे, त्यामुळे 4 = 2 × 2 नेहमीच मोजली जाते.

चारपैकी तीन

एक साधे उदाहरण हे कसे चालते ते दाखवते. विषम संख्यांना लाल आणि सम संख्यांना निळा रंग द्या. 9 पर्यंत, समान-रंगी गुणाकार आहेत 1, 3, 5, 7 आणि 9 (विषम गुणिले विषम), आणि 4 = 2 × 2 व 8 = 2 × 4 (सम गुणिले सम): नऊपैकी सात. संख्या 2 वगळली जाते, कारण तिचे एकमेव अवयवीकरण, 1 × 2, रंग मिसळते; 6 = 1 × 6 = 2 × 3 चेही तसेच. सर्वसाधारणपणे, n पर्यंतची गणना म्हणजे (3n + 1)/4 चा पूर्णांक भाग, त्यामुळे हे प्रमाण तीन चतुर्थांशाकडे झुकते. वगळल्या जाणाऱ्या संख्या आहेत 2, 6, 10, 14… — चारपैकी एक संख्या.

अधिक चतुर रंगवणूक याहून खूप चांगले करू शकेल का? हे आधीच ज्ञात होते की कोणत्याही निश्चित रंगवणुकीसाठी, समान-रंगी गुणाकार नेहमी संख्यांचा एक धन हिस्सा व्यापतात. खरा प्रश्न — जो Erdős आणि Sárközy यांनी 1990 मध्ये आणि पुन्हा 1993 मध्ये मांडला, आणि जो संख्या-सिद्धांतातील न सुटलेल्या प्रश्नांवरील Richard Guy यांच्या अभिजात पुस्तकात नोंदलेला आहे — असा आहे की एखादा सार्वत्रिक तळ (universal floor) आहे का: असा एक निश्चित हिस्सा, जो प्रत्येक रंगवणुकीला गाठावाच लागतो. उलट्या बाजूने पाहिल्यास: कोणत्याही लहान संख्या ε साठी, अशी रंगवणूक आहे का जिच्यातील समान-रंगी गुणाकारांचा हिस्सा, किमान काही टप्प्यांवर, ε च्या खाली जातो? हा प्रश्न गुणाकारी रॅम्झी सिद्धांताचा (multiplicative Ramsey theory) भाग आहे, जो कोणतीही रंगवणूक टाळू शकत नाही अशा आकृतिबंधांचा अभ्यास करतो.

तळ नाही

कॅनडातील हॅलिफॅक्स येथील Dalhousie विद्यापीठातील John M. Campbell सिद्ध करतात की कोणताही सार्वत्रिक तळ नाही. प्रत्येक ε साठी, तो कितीही लहान असो, पूर्ण संख्यांची अशी एक लाल-निळी रंगवणूक असते जिच्यात, कट-ऑफ बिंदूंच्या (cut-off points) एका अनंत क्रमिकेवर, त्या बिंदूपर्यंतच्या संख्यांपैकी ε या अपूर्णांकापेक्षा कमी संख्या समान-रंगी गुणाकार असतात.

मुख्य कल्पना म्हणजे एक आरसा. ही रचना N₁, N₂, N₃… अशा कट-ऑफ बिंदूंची एक वाढती क्रमिका आणि रंग जिथे उलटतो अशा बदल-बिंदूंचा एक संच निवडते. ते अशा प्रकारे निवडले जातात की, प्रत्येक कट-ऑफ N च्या खाली, एखादी संख्या x आणि तिचे प्रतिबिंब N/x यांना नेहमी विरुद्ध रंग असतात. N च्या जवळचा गुणाकार a × b एका लहान संख्येची जोडी एका अशा मोठ्या संख्येशी लावतो, जी जवळजवळ तिचे प्रतिबिंबच असते, त्यामुळे दोन अवयवांचे रंग जवळजवळ नेहमीच वेगळे असतात. दुर्मीळ अपवाद — एखाद्या अरुंद कक्षेत विभाजक असलेल्या संख्या — विश्लेषणात्मक संख्या-सिद्धांतातील (analytic number theory) साधनांनी मोजले जातात; त्यांत ऑयलर यांना श्रेय दिले जाणारे हे तथ्यही आहे की मूळ संख्यांच्या व्यस्तांची बेरीज, 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …, अमर्याद वाढत जाते.

आवाक्याबाहेरची रंगवणूक

ही रंगवणूक अस्तित्वात आहे, पण ती काम करताना कोणीही कधीच पाहू शकणार नाही. तिचे कट-ऑफ प्रचंड मोठे निवडावे लागतात, आणि ε = 1/10 या लक्ष्यासाठी ते किती प्रचंड, याची गणना शोधनिबंध करतो. पहिला कट-ऑफ exp(exp(96,303.3504)) आणि exp(exp(96,303.3505)) यांच्या दरम्यान असलेल्या एका संख्येपेक्षा मोठा असायला हवा. परिणामी, 1 ला लाल रंग दिला, तर पहिल्या 10^(10^41,823) संख्या सर्व लाल असतात — ही संख्या स्वतःच 10^41,823 हून अधिक अंकांची आहे. त्याच्याही खूप पलीकडे गेल्यावरच आरशाची युक्ती परिणाम दाखवू लागते. कोणताही संगणक अशा रंगवणुकीची मोजणी करून कधीच तपासणी करू शकणार नाही.

AI च्या मदतीने सापडलेले उत्तर

उत्तर कसे सापडले, याबद्दल शोधनिबंध मोकळेपणाने सांगतो. 18 ऑक्टोबर 2026 रोजी, Campbell यांनी Guy यांच्या पुस्तकातील हा प्रश्न GPT-6 Astra Pro या AI मॉडेलला दिला आणि तो सोडवण्यास सांगितले. 13 मिनिटे आणि 53 सेकंद “विचार” केल्यानंतर, मॉडेलने उत्तर दिले की असा कोणताही स्थिरांक अस्तित्वात नाही, आणि एक रचना सुचवली. दीर्घ संवाद, दुरुस्त्या आणि तपासण्या यांतून Campbell यांनी मग पुरावा लिहिला; त्यातील अनेक पायऱ्यांचे — मार्कोव्हच्या असमतेचे (Markov’s inequality) संभाव्यतेवर आधारित नसलेले एक रूप, प्रकरणनिहाय विश्लेषण, डायगामा फलनावरील (digamma function) एक असमता — श्रेय Campbell यांच्या स्वतःच्या संशोधनाला दिले आहे. प्रत्येक AI सूचना सुधारली गेली आणि स्वतंत्रपणे पडताळली गेली, असे Campbell नमूद करतात, आणि गणिताची संपूर्ण जबाबदारी स्वीकारतात.

हा पुरावा एकल-लेखक प्रीप्रिंट (preprint) आहे आणि इतर गणितज्ञांनी अद्याप त्याचे पुनरावलोकन केलेले नाही. त्याचा शेवट नव्या प्रश्नांनी होतो: केवळ मूळ संख्यांनाच रंग दिला तर काय होते, आणि कोणत्या रंगवणुकींमध्ये समान-रंगी गुणाकारांचा हिस्सा एखाद्या दिलेल्या मूल्यावर स्थिरावतो — किंवा कधीच स्थिरावत नाही?