PINTE CADA NÚMERO DE VERMELHO OU AZUL: OS PRODUTOS DE MESMA COR PODEM QUASE SUMIR

Pegue dois lápis de cor, um vermelho e um azul, e pinte cada número inteiro positivo com um deles. Agora chame um número de produto de mesma cor se ele puder ser escrito como o produto de dois números vermelhos ou de dois números azuis — o mesmo número duas vezes é permitido, então 4 = 2 × 2 sempre conta.

Três em cada quatro

Um exemplo simples mostra como funciona. Pinte os números ímpares de vermelho e os pares de azul. Até 9, os produtos de mesma cor são 1, 3, 5, 7 e 9 (ímpar vezes ímpar), e 4 = 2 × 2 e 8 = 2 × 4 (par vezes par): sete em nove. O número 2 fica de fora, já que sua única fatoração, 1 × 2, mistura cores; o mesmo acontece com 6 = 1 × 6 = 2 × 3. Em geral, a contagem até n é a parte inteira de (3n + 1)/4, então a proporção tende a três quartos. Os que ficam de fora são 2, 6, 10, 14… — um número em cada quatro.

Uma coloração mais esperta consegue fazer muito melhor? Já se sabia que, para qualquer coloração fixa, os produtos de mesma cor sempre formam uma proporção positiva dos números. A verdadeira pergunta, feita por Erdős e Sárközy em 1990 e de novo em 1993, e incluída no clássico livro de Richard Guy sobre problemas não resolvidos da teoria dos números, é se existe um piso universal: uma proporção fixa que toda coloração tem de atingir. Dito ao contrário: para qualquer número pequeno ε, existe uma coloração cuja proporção de produtos de mesma cor, pelo menos em alguns trechos, cai abaixo de ε? O problema pertence à teoria de Ramsey multiplicativa, que estuda padrões que nenhuma coloração consegue evitar.

Nenhum piso

John M. Campbell, da Universidade Dalhousie, em Halifax, no Canadá, prova que não existe piso universal. Para todo ε, por menor que seja, existe uma coloração em vermelho e azul dos números inteiros na qual, ao longo de uma sequência infinita de pontos de corte, menos de uma fração ε dos números até esse ponto são produtos de mesma cor.

A ideia-chave é um espelho. A construção escolhe uma sequência crescente de pontos de corte N₁, N₂, N₃… e um conjunto de pontos de troca onde a cor se inverte. Eles são escolhidos de modo que, abaixo de cada ponto de corte N, um número x e seu espelho N/x sempre tenham cores opostas. Um produto a × b próximo de N junta um número pequeno com um grande que é quase o seu espelho, então os dois fatores quase sempre diferem de cor. As raras exceções — números com um divisor numa faixa estreita — são contadas com ferramentas da teoria analítica dos números, incluindo o fato, atribuído a Euler, de que a soma dos inversos dos números primos, 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …, cresce sem limite.

Uma coloração inalcançável

A coloração existe, mas ninguém jamais a verá em ação. Seus pontos de corte precisam ser escolhidos enormes, e o artigo calcula quão enormes para uma meta de ε = 1/10. O primeiro ponto de corte precisa superar um número situado entre exp(exp(96.303,3504)) e exp(exp(96.303,3505)). Em consequência, se o 1 for pintado de vermelho, os primeiros 10^(10^41.823) números são todos vermelhos — uma quantidade que, por si só, tem mais de 10^41.823 algarismos. Só muito além disso o truque do espelho começa a fazer efeito. Nenhum computador jamais verificará uma coloração dessas contando.

Uma resposta encontrada com uma IA

O artigo é transparente sobre como a resposta surgiu. Em 18 de outubro de 2026, Campbell entregou o problema do livro de Guy a um modelo de IA, o GPT-6 Astra Pro, pedindo que o resolvesse. Depois de 13 minutos e 53 segundos de “raciocínio”, o modelo respondeu que tal constante não existe e propôs uma construção. Por meio de longas trocas, correções e verificações, Campbell redigiu então a prova, com várias de suas etapas — uma forma não probabilística da desigualdade de Markov, uma análise de casos, uma desigualdade sobre a função digama — creditadas às suas próprias investigações. Campbell declara que toda sugestão da IA foi revisada e verificada de forma independente, e assume total responsabilidade pela matemática.

A prova é um preprint de autoria individual e ainda não foi revisada por outros matemáticos. Ela termina com novas perguntas: o que acontece se apenas os números primos forem pintados, e quais colorações fazem a proporção de produtos de mesma cor se estabilizar num valor dado — ou nunca se estabilizar?