把每个数涂成红色或蓝色：同色乘积几乎可以消失

拿两支蜡笔，一支红色，一支蓝色，用其中一支给每个正整数涂色。现在，如果一个数可以写成两个红数之积，或者两个蓝数之积，就称它为同色乘积——同一个数用两次也可以，所以4 = 2 × 2总是算数。

四个中有三个

一个简单的例子可以说明其中的道理。把奇数涂成红色，偶数涂成蓝色。在9以内，同色乘积有1、3、5、7和9（奇数乘奇数），以及4 = 2 × 2和8 = 2 × 4（偶数乘偶数）：九个中有七个。数2落选了，因为它唯一的分解1 × 2混合了两种颜色；6 = 1 × 6 = 2 × 3也一样。一般来说，n以内同色乘积的个数是(3n + 1)/4的整数部分，因此这个比例趋于四分之三。落选的是2、6、10、14……——每四个数中有一个。

更巧妙的涂色能做得好得多吗？人们早已知道，对于任何固定的涂色，同色乘积总是在整数中占有一个正的比例。真正的问题——由埃尔德什（Erdős）和Sárközy在1990年提出、1993年再次提出，并被收入理查德·盖伊（Richard Guy）的经典著作《数论中未解决的问题》——是：是否存在一个普遍的下限，即每一种涂色都必须达到的一个固定比例？反过来说：对于任意小的数ε，是否存在一种涂色，使同色乘积的比例至少在某些区段上降到ε以下？这个问题属于乘法拉姆齐理论（multiplicative Ramsey theory），该理论研究的是任何涂色都无法避免的模式。

没有下限

加拿大哈利法克斯达尔豪斯大学的John M. Campbell证明了不存在普遍的下限。对于每一个ε，无论多小，都存在一种对正整数的红蓝涂色，使得沿着一个无穷的截断点序列，在每个截断点以内的数中，同色乘积所占的比例都小于ε。

关键的想法是镜像。这一构造选取一个递增的截断点序列N₁, N₂, N₃…，以及一组颜色发生翻转的切换点。它们的选取方式使得在每个截断点N以下，一个数x和它的镜像N/x总是具有相反的颜色。一个接近N的乘积a × b，是把一个较小的数和一个几乎是其镜像的较大的数配成一对，因此这两个因数的颜色几乎总是不同的。少数例外——在某个狭窄范围内有因数的数——则用解析数论的工具来计数，其中包括一个归功于欧拉的事实：素数的倒数之和1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …会无限增长。

一种无法企及的涂色

这种涂色是存在的，但没有人能亲眼看到它发挥作用。它的截断点必须选得极大，论文计算了在目标ε = 1/10下要大到什么程度。第一个截断点必须超过一个介于exp(exp(96,303.3504))和exp(exp(96,303.3505))之间的数。因此，如果1被涂成红色，前10^(10^41,823)个数全都是红色——这个个数本身就有超过10^41,823位数字。只有在远远超过这个范围之后，镜像技巧才开始起作用。没有任何计算机能通过逐个计数来检验这样一种涂色。

一个借助AI找到的答案

论文坦率地交代了答案的来历。2026年10月18日，Campbell把盖伊书中的这个问题交给AI模型GPT-6 Astra Pro，要求它求解。经过13分53秒的“思考”，模型回答说这样的常数不存在，并提出了一个构造。随后，通过长时间的交流、修正和核查，作者写出了证明，其中有几个步骤——马尔可夫不等式的一种非概率形式、一项分情况讨论、一个关于双伽马函数（digamma function）的不等式——被归功于作者本人的研究。Campbell声明，每一条AI建议都经过了修改和独立验证，并对其中的数学内容承担全部责任。

这一证明是一篇单一作者的预印本，尚未经过其他数学家的审阅。论文最后提出了新的问题：如果只给素数涂色，会发生什么？哪些涂色会使同色乘积的比例稳定在某个给定的值上——或者永远不会稳定下来？