প্রতিটি সংখ্যাকে লাল বা নীল রং করুন: একই-রঙের গুণফল প্রায় মিলিয়ে যেতে পারে

দুটি রং-পেনসিল নিন, একটি লাল আর একটি নীল, এবং প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে এদের একটি দিয়ে রং করুন। এবার কোনো সংখ্যাকে একই-রঙের গুণফল বলুন, যদি তাকে দুটি লাল সংখ্যা বা দুটি নীল সংখ্যার গুণফল হিসেবে লেখা যায় — একই সংখ্যা দুবার নেওয়া চলে, তাই 4 = 2 × 2 সবসময়ই গণ্য হয়।

চারে তিন

একটি সরল উদাহরণ দেখায় এটি কীভাবে কাজ করে। বিজোড় সংখ্যাগুলোকে লাল আর জোড় সংখ্যাগুলোকে নীল রং করুন। 9 পর্যন্ত একই-রঙের গুণফলগুলো হলো 1, 3, 5, 7 ও 9 (বিজোড় গুণ বিজোড়), এবং 4 = 2 × 2 ও 8 = 2 × 4 (জোড় গুণ জোড়): নয়টির মধ্যে সাতটি। 2 সংখ্যাটি বাদ পড়ে, কারণ এর একমাত্র উৎপাদক-বিশ্লেষণ, 1 × 2, দুই রং মেশায়; 6 = 1 × 6 = 2 × 3-ও তাই। সাধারণভাবে, n পর্যন্ত এদের সংখ্যা হলো (3n + 1)/4-এর পূর্ণ অংশ, তাই অনুপাতটি চার ভাগের তিন ভাগের দিকে এগোয়। বাদ পড়ে 2, 6, 10, 14… — প্রতি চারটিতে একটি সংখ্যা।

আরও চতুর কোনো রং-বিন্যাস কি অনেক ভালো করতে পারে? আগে থেকেই জানা ছিল যে যেকোনো নির্দিষ্ট রং-বিন্যাসের জন্য একই-রঙের গুণফলগুলো সবসময় সংখ্যাগুলোর একটি ধনাত্মক অংশ জুড়ে থাকে। আসল প্রশ্নটি — 1990 সালে এবং আবার 1993 সালে এর্দোশ (Erdős) ও শারকোজি (Sárközy) যেটি তুলেছিলেন, আর যা সংখ্যাতত্ত্বের অমীমাংসিত সমস্যা নিয়ে রিচার্ড গাইয়ের (Richard Guy) ক্লাসিক বইয়ে তালিকাভুক্ত — হলো, কোনো সর্বজনীন নিম্নসীমা আছে কি না: একটি নির্দিষ্ট অনুপাত, যেখানে প্রতিটি রং-বিন্যাসকে পৌঁছাতেই হবে। উল্টো করে বললে: যেকোনো ছোট সংখ্যা ε-এর জন্য এমন কোনো রং-বিন্যাস আছে কি, যার একই-রঙের গুণফলের অনুপাত, অন্তত কিছু কিছু পরিসরে, ε-এর নিচে নেমে যায়? সমস্যাটি গুণাত্মক র‍্যামসি তত্ত্বের (multiplicative Ramsey theory) অন্তর্ভুক্ত, যা এমন নকশা নিয়ে কাজ করে যা কোনো রং-বিন্যাসই এড়াতে পারে না।

কোনো নিম্নসীমা নেই

কানাডার হ্যালিফ্যাক্সে ডালহৌসি ইউনিভার্সিটির জন এম. ক্যাম্পবেল (John M. Campbell) প্রমাণ করেছেন যে কোনো সর্বজনীন নিম্নসীমা নেই। প্রতিটি ε-এর জন্য, তা যত ছোটই হোক, পূর্ণসংখ্যাগুলোর এমন একটি লাল-নীল রং-বিন্যাস আছে, যেখানে কাট-অফ বিন্দুগুলোর একটি অসীম অনুক্রম বরাবর, সেই বিন্দু পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর ε ভগ্নাংশেরও কম একই-রঙের গুণফল।

মূল ধারণাটি হলো প্রতিবিম্ব। নির্মাণটি কাট-অফের একটি ক্রমবর্ধমান অনুক্রম N₁, N₂, N₃… এবং কিছু বদল-বিন্দু বেছে নেয়, যেখানে রং উল্টে যায়। এগুলো এমনভাবে বাছা হয় যে প্রতিটি কাট-অফ N-এর নিচে একটি সংখ্যা x আর তার প্রতিবিম্ব N/x সবসময় বিপরীত রং পায়। N-এর কাছাকাছি একটি গুণফল a × b একটি ছোট সংখ্যাকে জোড়ে একটি বড় সংখ্যার সঙ্গে, যা প্রায় তার প্রতিবিম্ব, তাই দুটি উৎপাদক প্রায় সবসময়ই ভিন্ন রঙের হয়। বিরল ব্যতিক্রমগুলো — একটি সরু পরিসরে কোনো ভাজক আছে এমন সংখ্যা — গোনা হয় বৈশ্লেষিক সংখ্যাতত্ত্বের হাতিয়ার দিয়ে, যার মধ্যে আছে অয়লারের (Euler) বলে ধরা এই তথ্যটি যে মৌলিক সংখ্যাগুলোর অন্যোন্যকের যোগফল, 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …, সীমাহীনভাবে বাড়তে থাকে।

নাগালের বাইরের একটি রং-বিন্যাস

রং-বিন্যাসটির অস্তিত্ব আছে, কিন্তু কেউই কখনো একে কাজ করতে দেখবে না। এর কাট-অফগুলোকে বিশাল করে বাছতে হয়, আর গবেষণাপত্রটি ε = 1/10 লক্ষ্যের জন্য হিসাব করে দেখায় কতটা বিশাল। প্রথম কাট-অফকে exp(exp(96,303.3504)) ও exp(exp(96,303.3505))-এর মধ্যে অবস্থিত একটি সংখ্যাকে ছাড়াতে হবে। ফলে, 1-কে লাল রং করা হলে প্রথম 10^(10^41,823)টি সংখ্যাই লাল — এমন এক সংখ্যা, যা লিখতেই 10^41,823-এর বেশি অঙ্ক লাগে। তার বহু বহু দূরে গিয়েই কেবল প্রতিবিম্বের কৌশলটি কাজ দেখাতে শুরু করে। কোনো কম্পিউটার কখনো গুনে গুনে এমন রং-বিন্যাস যাচাই করতে পারবে না।

একটি এআই-এর সঙ্গে পাওয়া উত্তর

উত্তরটি কীভাবে এসেছে, সে বিষয়ে গবেষণাপত্রটি খোলামেলা। 2026 সালের 18 অক্টোবর ক্যাম্পবেল গাইয়ের বই থেকে সমস্যাটি একটি এআই মডেল, GPT-6 Astra Pro-কে দেন এবং এটি সমাধান করতে বলেন। 13 মিনিট 53 সেকেন্ড “চিন্তা”র পর মডেলটি উত্তর দেয় যে এমন কোনো ধ্রুবক নেই, এবং একটি নির্মাণ প্রস্তাব করে। দীর্ঘ কথোপকথন, সংশোধন আর যাচাইয়ের মধ্য দিয়ে লেখক তারপর প্রমাণটি লেখেন, যার কয়েকটি ধাপ — মার্কভের অসমতার (Markov’s inequality) একটি অ-সম্ভাবনাভিত্তিক রূপ, একটি ক্ষেত্রভিত্তিক বিশ্লেষণ, ডাইগামা ফাংশন (digamma function) নিয়ে একটি অসমতা — লেখকের নিজস্ব অনুসন্ধানের কৃতিত্ব হিসেবে চিহ্নিত। ক্যাম্পবেল জানান, এআই-এর প্রতিটি পরামর্শ সংশোধন ও স্বাধীনভাবে যাচাই করা হয়েছে, এবং গণিতের পূর্ণ দায়িত্ব তিনি নিজেই নেন।

প্রমাণটি একজন একক লেখকের প্রিপ্রিন্ট, এবং এখনো অন্য গণিতবিদেরা এটি পর্যালোচনা করেননি। এটি শেষ হয় নতুন প্রশ্ন দিয়ে: কেবল মৌলিক সংখ্যাগুলোকে রং করলে কী ঘটে, আর কোন রং-বিন্যাসে একই-রঙের গুণফলের অনুপাত একটি নির্দিষ্ট মানে স্থির হয় — বা কখনোই স্থির হয় না?