WARNAI SETIAP BILANGAN MERAH ATAU BIRU: HASIL KALI SEWARNA BISA NYARIS LENYAP

Ambil dua krayon, satu merah dan satu biru, lalu warnai setiap bilangan bulat positif dengan salah satunya. Sekarang, sebut sebuah bilangan hasil kali sewarna jika bilangan itu dapat ditulis sebagai hasil kali dua bilangan merah atau dua bilangan biru — bilangan yang sama boleh dipakai dua kali, sehingga 4 = 2 × 2 selalu terhitung.

Tiga dari empat

Sebuah contoh sederhana memperlihatkan cara kerjanya. Warnai bilangan ganjil dengan merah dan bilangan genap dengan biru. Hingga 9, hasil kali sewarnanya adalah 1, 3, 5, 7, dan 9 (ganjil kali ganjil), serta 4 = 2 × 2 dan 8 = 2 × 4 (genap kali genap): tujuh dari sembilan. Bilangan 2 luput, karena satu-satunya faktorisasinya, 1 × 2, mencampur warna; begitu pula 6 = 1 × 6 = 2 × 3. Secara umum, banyaknya hingga n adalah bagian bulat dari (3n + 1)/4, sehingga bagiannya mendekati tiga perempat. Yang kalah adalah 2, 6, 10, 14… — satu dari setiap empat bilangan.

Dapatkah pewarnaan yang lebih cerdik berbuat jauh lebih baik? Sudah diketahui bahwa untuk setiap pewarnaan tetap, hasil kali sewarna selalu membentuk bagian positif dari bilangan-bilangan. Pertanyaan yang sebenarnya, yang diajukan oleh Erdős dan Sárközy pada 1990 dan sekali lagi pada 1993, dan tercantum dalam buku klasik Richard Guy tentang soal-soal teori bilangan yang belum terpecahkan, adalah apakah ada batas bawah universal: suatu bagian tetap yang harus dicapai oleh setiap pewarnaan. Dengan kata lain: untuk sembarang bilangan kecil ε, adakah pewarnaan yang bagian hasil kali sewarnanya, setidaknya di sepanjang beberapa rentang, turun di bawah ε? Soal ini termasuk dalam teori Ramsey multiplikatif, yang mempelajari pola-pola yang tidak dapat dihindari oleh pewarnaan apa pun.

Tidak ada batas bawah

John M. Campbell, di Dalhousie University di Halifax, Kanada, membuktikan bahwa tidak ada batas bawah universal. Untuk setiap ε, sekecil apa pun, terdapat pewarnaan merah-biru atas bilangan-bilangan bulat yang di dalamnya, di sepanjang suatu barisan tak hingga titik potong, kurang dari pecahan ε dari bilangan-bilangan hingga titik itu yang merupakan hasil kali sewarna.

Gagasan kuncinya adalah sebuah cermin. Konstruksi itu memilih barisan titik potong yang naik N₁, N₂, N₃… dan sekumpulan titik peralihan tempat warnanya berganti. Titik-titik itu dipilih sedemikian rupa sehingga, di bawah setiap titik potong N, sebuah bilangan x dan cerminannya N/x selalu memiliki warna yang berlawanan. Sebuah hasil kali a × b yang dekat dengan N memasangkan bilangan kecil dengan bilangan besar yang nyaris merupakan cerminannya, sehingga kedua faktor itu hampir selalu berbeda warna. Pengecualian yang jarang — bilangan yang memiliki pembagi dalam suatu rentang sempit — dihitung dengan alat-alat dari teori bilangan analitik, termasuk fakta yang dikaitkan dengan Euler bahwa jumlah kebalikan bilangan-bilangan prima, 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …, tumbuh tanpa batas.

Pewarnaan yang tak terjangkau

Pewarnaan itu ada, tetapi tidak seorang pun akan pernah melihatnya bekerja. Titik-titik potongnya harus dipilih sangat besar, dan makalah itu menghitung seberapa besar untuk target ε = 1/10. Titik potong pertama harus melampaui sebuah bilangan yang terletak antara exp(exp(96.303,3504)) dan exp(exp(96.303,3505)). Akibatnya, jika 1 diwarnai merah, 10^(10^41.823) bilangan pertama semuanya merah — sebuah jumlah yang banyak digitnya sendiri melebihi 10^41.823. Baru jauh setelah itu trik cermin mulai berpengaruh. Tidak ada komputer yang akan pernah memeriksa pewarnaan semacam itu dengan menghitung.

Jawaban yang ditemukan bersama AI

Makalah itu terbuka tentang cara jawaban itu ditemukan. Pada 18 Oktober 2026, Campbell memberikan soal dari buku Guy itu kepada sebuah model AI, GPT-6 Astra Pro, dan memintanya untuk memecahkannya. Setelah 13 menit 53 detik “berpikir”, model itu menjawab bahwa konstanta semacam itu tidak ada dan mengusulkan sebuah konstruksi. Melalui pertukaran panjang, koreksi, dan pemeriksaan, penulis kemudian menyusun buktinya, dengan beberapa langkahnya — bentuk non-probabilistik dari ketaksamaan Markov, sebuah analisis kasus, sebuah ketaksamaan tentang fungsi digamma — dikreditkan pada penyelidikan penulis sendiri. Campbell menyatakan bahwa setiap saran AI telah direvisi dan diverifikasi secara independen, dan memikul tanggung jawab penuh atas matematikanya.

Bukti itu adalah pracetak dari seorang penulis tunggal dan belum ditinjau oleh matematikawan lain. Makalah itu diakhiri dengan pertanyaan-pertanyaan baru: apa yang terjadi jika hanya bilangan prima yang diwarnai, dan pewarnaan mana yang membuat bagian hasil kali sewarna menetap pada suatu nilai tertentu — atau tidak pernah menetap sama sekali?