MEHR ALS 83,9 % DER NULLSTELLEN DER ZETAFUNKTION SIND VERSCHIEDEN

Die Riemannsche Zetafunktion hat unendlich viele „nichttriviale“ Nullstellen, Punkte der komplexen Ebene, an denen sie verschwindet. Zwei Fragen zu ihnen sind noch offen. Liegen sie alle auf der kritischen Geraden, auf der ihr Realteil gleich einhalb ist? Das ist die Riemannsche Vermutung. Und sind sie alle einfach – ist jede Nullstelle eine einzelne Nullstelle und nicht zwei oder mehr, die am selben Punkt übereinanderliegen? Das ist die Vermutung der einfachen Nullstellen. Laut der Arbeit weiß niemand, ob eine dieser Aussagen die andere impliziert.

Bis zu einer Höhe von 3 × 10¹² haben Computer überprüft, dass die Nullstellen auf der Geraden liegen und einfach sind. Darüber hinaus beweisen Mathematiker Anteile: Mindestens ein bestimmter Anteil aller Nullstellen hat die Eigenschaft.

Ein Rennen in Nachkommastellen

Kristian Muri Knausgård aus Kristiansand in Norwegen legt die jüngere Geschichte ausführlich dar. Die bewiesenen Anteile verschiedener Nullstellen stiegen von 63,9 % auf 70 % und sprangen dann auf 83,625 %, mit einem Argument, das die Arbeit einem von Claude (Anthropic) unterzeichneten Preprint zuschreibt, das von den Mathematikern Alpöge und Furman verifiziert und von Lamzouri neu bewiesen wurde. Es folgten kleine Fortschritte, darunter die eigene frühere Arbeit des Autors mit 83,6993 %.

Die Einleitung der Arbeit listet mehr als ein Dutzend angekündigter Werte für Nullstellen, die einfach sind und auf der kritischen Geraden liegen, von 0,67300 bis 0,673492; viele davon wurden zwischen August und Oktober 2026 in öffentlichen Code-Repositorien veröffentlicht und nicht begutachtet. Der Autor erklärt, dass diese Werte für die Arbeit nicht überprüft wurden und keines ihrer Ergebnisse von ihnen abhängt.

Die neuen Schranken

Ohne die Riemannsche Vermutung oder eine andere unbewiesene Aussage vorauszusetzen, beweist die Arbeit, dass:

• mehr als 83,900 % der Nullstellen verschieden sind (die genaue Schranke ist 1645064/1960733);
• folglich mehr als 67,80 % einfach sind;
• mehr als 67,353 % einfach und auf der kritischen Geraden sind;
• mindestens 88,93 % einfach oder auf der Geraden sind, sodass Nullstellen, die zugleich abseits der Geraden liegen und mehrfach sind, höchstens 11,07 % ausmachen.

Mehrfache Nullstellen kosten Energie

Die Idee passt in ein einziges Bild. Man skaliere die Nullstellen so um, dass sie im Mittel eine Einheit voneinander entfernt sind, wie Perlen auf einer Schnur. Ein Satz von Montgomery über die Verteilung von Nullstellenpaaren legt asymptotisch eine über alle Paare summierte Gesamt-„Energie“ fest. Eine d-fache Nullstelle trägt d² zu dieser Energie bei. Benachbarte Nullstellen verbrauchen über ihre Überlappungen ebenfalls einen Teil davon.

Kann man also beweisen, dass Nachbarn zwangsläufig viel Energie verbrauchen, bleibt für mehrfache Nullstellen nur wenig übrig. Der Beweis tut dies in drei Schritten:

1. Nullstellen, die einen Mindestabstand voneinander einhalten, werden dank einer als großes Sieb bekannten Ungleichung exakt behandelt.
2. Eine Ungleichung über sieben aufeinanderfolgende Nullstellen, mit Computerhilfe bewiesen, belohnt doppelte Nullstellen stärker als einfache. Ihre Korrekturterme heben sich auf, wenn man sie entlang der Geraden aufsummiert.
3. Eine sorgfältig konstruierte Testfunktion, das „Fenster“, macht diese Belohnung so groß wie möglich.

Die Arbeit vergleicht das Problem mit der Suche nach dem Zustand niedrigster Energie eines eindimensionalen Gases aus zwei Teilchensorten, einfachen und doppelten Nullstellen.

Was der Computer geprüft hat – und was nicht

Die Sieben-Punkte-Ungleichung erforderte die Untersuchung von 60.467.309 Kästchen an Möglichkeiten, ohne ein einziges Versagen. Das Ergebnis zur kritischen Geraden benötigte mehr als 535 Millionen. Alle Hauptsätze sind in Lean 4, einer Software zur Beweisprüfung, formalisiert, in etwa 13.300 bzw. 10.000 Zeilen auf einer bestehenden Bibliothek von rund 102.000 Zeilen, mit Aussagen über die Nullstellen der Zetafunktion, wie sie in Leans mathematischer Bibliothek definiert ist.

Der Autor benennt eine Lücke offen. Jeder Satz stützt sich auf ein zusätzliches Axiom, das festhält, dass ein Suchprogramm „wahr“ zurückgegeben hat. Der Lean-Kern führt diese Berechnung nicht erneut aus, sondern vertraut dafür dem Compiler und der Laufzeitumgebung von Lean. Drei unabhängige Prüfungen stützen den Lauf, darunter identische Zählungen aus getrennten C++- und Python-Programmen.

Eine Methode am Ende ihrer Möglichkeiten

Die Arbeit beweist auch, wo ihr Ansatz aufhören muss. Mit ihrem Hauptfenster kann er 84 % nie erreichen: Die Obergrenze liegt bei 0,83998. Für jedes hinreichend reguläre Fenster liegt die Obergrenze bei 0,84093 – weniger als 0,002 über dem neuen Ergebnis. Um weiterzukommen, braucht es eine andere Idee.

Interessenkonflikt. Der Autor beschreibt diese Arbeit als „ein Experiment in KI-gestützter mathematischer Forschung“. Er gibt an, dass die Argumente, Berechnungen, die Lean-Formalisierung, die Abbildungen und ein Großteil des Textes mit erheblicher Hilfe von OpenAI Codex und Anthropic Claude unter seiner Leitung entwickelt wurden; Claude entwickelte die Formalisierung, die Analyse der Grenzen der Methode, das Fenster und das Zertifikat des Satzes zur kritischen Geraden, die Abbildungen und einen Großteil des Textes, und beide Systeme begutachteten Entwürfe „in der Rolle von Gutachtern“. Das Ausgangsargument wird einem von Claude unterzeichneten Preprint zugeschrieben. Claude hat auch den vorliegenden Artikel geschrieben.