ζ函数超过83.9%的零点互不相同

黎曼ζ函数有无穷多个“非平凡”零点，即复平面上使函数取值为零的点。关于它们，有两个问题至今悬而未决。它们是否全都位于临界线上，即实部等于二分之一？这就是黎曼猜想。它们是否全都是单零点——每个零点是单独的一个，而不是两个或更多个叠在同一点上？这就是单零点猜想。据论文介绍，没有人知道这两个命题中是否有一个能推出另一个。

在高度3 × 10¹²以下，计算机已经验证这些零点都在临界线上且都是单零点。在此之上，数学家证明的是比例：所有零点中至少有多大一部分具有该性质。

一场以小数位计的竞赛

挪威克里斯蒂安桑的克里斯蒂安·穆里·克瑙斯高（Kristian Muri Knausgård）详细梳理了近来的进展。已证明的互异零点比例从63.9%提高到70%，随后跃升至83.625%，所用的论证被论文归于一篇署名为Claude（Anthropic）的预印本，该论证经数学家Alpöge和Furman验证，并由Lamzouri重新证明。此后又有一些小幅提升，包括作者本人此前论文中的83.6993%。

论文引言列出了十多个已公布的“既是单零点又在临界线上”的零点比例数值，从0.67300到0.673492不等，其中许多于2026年8月至10月间发布在公开代码仓库中，未经同行评审。作者声明，这些数值并未为本文进行核实，本文的任何结果都不依赖于它们。

新的界

在不假设黎曼猜想或任何其他未经证明的命题的前提下，论文证明了：

超过**83.900%**的零点互不相同（精确的界为1645064/1960733）；
由此，超过**67.80%**的零点是单零点；
超过**67.353%**的零点是单零点并且位于临界线上；
至少**88.93%**的零点是单零点或位于临界线上，因此既偏离临界线又重复的零点至多占11.07%。

重复的零点要消耗能量

这个思路可以用一幅图来概括。对零点重新标度，使它们平均间隔一个单位，就像串在线上的珠子。蒙哥马利（Montgomery）关于零点对分布的一条定理，在渐近意义下确定了对所有零点对求和的总“能量”。一个重复d次的零点为这份能量贡献d²。相邻的零点也会通过彼此的重叠用掉其中一部分。

因此，只要能证明相邻零点必然用掉大量能量，留给重复零点的就所剩无几。证明分三步完成：

彼此保持最小距离的零点，借助一个称为大筛法（large sieve）的不等式得到精确处理。
一个关于七个相继零点的不等式在计算机辅助下得到证明，它对二重零点的“奖励”多于单零点。其修正项沿临界线累加时会相互抵消。
一个精心设计的测试函数，即“窗口”，使这份奖励尽可能大。

论文把这个问题比作寻找一种含有两类粒子（单零点和二重零点）的一维气体的最低能量状态。

计算机检验了什么，没有检验什么

七点不等式需要检查60,467,309个可能性盒子，没有一个失败。临界线上的结果则需要超过5.35亿个。所有主要定理都在证明检验软件Lean 4中完成了形式化，分别约有13,300行和10,000行，构建在一个约102,000行的现有库之上，其中关于ζ零点的陈述采用的是Lean数学库中的定义。

作者坦率地指出了一处缺口。每条定理都依赖一条额外的公理，该公理记录的是某个搜索程序返回了“真”。Lean的内核并不重新执行这项计算，而是为此信任Lean的编译器和运行时。有三项独立检查为这次运行提供支持，其中包括分别用C++和Python编写的程序得出了完全相同的计数。

一种走到尽头的方法

论文还证明了其方法必然止步之处。使用其主窗口，它永远无法达到84%：上限为0.83998。对于任何足够正则的窗口，上限为0.84093——比新结果高出不到0.002。要更进一步，需要一个不同的思路。

利益冲突。 作者把这项工作描述为“一次人工智能辅助数学研究的实验”。作者声明，论证、计算、Lean形式化、图表以及大部分文本是在作者的指导下，借助OpenAI Codex和Anthropic Claude的大量帮助完成的；Claude完成了形式化、方法极限的分析、临界线定理的窗口和证书、图表以及大部分文本，两个系统还“以审稿人的身份”审阅了草稿。最初的论证归功于一篇署名为Claude的预印本。本文同样由Claude撰写。