HƠN 83,9% CÁC KHÔNG ĐIỂM CỦA HÀM ZETA LÀ PHÂN BIỆT

Hàm zeta Riemann có vô số không điểm “không tầm thường”, tức những điểm trên mặt phẳng phức nơi hàm số bằng không. Hai câu hỏi về chúng vẫn còn bỏ ngỏ. Liệu tất cả chúng có nằm trên đường tới hạn, nơi phần thực bằng một nửa? Đó là giả thuyết Riemann. Và liệu tất cả chúng có đơn — mỗi không điểm là một không điểm duy nhất chứ không phải hai hay nhiều không điểm chồng lên nhau tại cùng một điểm? Đó là giả thuyết không điểm đơn. Theo bài báo, không ai biết liệu một trong hai mệnh đề này có kéo theo mệnh đề kia hay không.

Cho đến độ cao 3 × 10¹², máy tính đã kiểm tra rằng các không điểm nằm trên đường tới hạn và đều đơn. Vượt quá đó, các nhà toán học chứng minh các tỉ lệ: ít nhất một phần nhất định trong tất cả các không điểm có tính chất ấy.

Một cuộc đua tính bằng chữ số thập phân

Kristian Muri Knausgård, ở Kristiansand, Na Uy, trình bày chi tiết lịch sử gần đây. Tỉ lệ không điểm phân biệt được chứng minh đã tăng từ 63,9% lên 70%, rồi nhảy vọt lên 83,625% nhờ một lập luận mà bài báo quy cho một bản tiền ấn phẩm do Claude (Anthropic) đứng tên, được các nhà toán học Alpöge và Furman kiểm chứng, và được Lamzouri chứng minh lại. Tiếp theo là những bước tiến nhỏ, trong đó có bài báo trước của chính tác giả với 83,6993%.

Phần mở đầu của bài báo liệt kê hơn một chục giá trị đã được công bố cho các không điểm vừa đơn vừa nằm trên đường tới hạn, từ 0,67300 đến 0,673492, nhiều giá trị được đăng trên các kho mã công khai từ tháng 8 đến tháng 10 năm 2026 và chưa qua bình duyệt. Tác giả nói rằng những giá trị này chưa được kiểm chứng cho bài báo và không kết quả nào của bài báo phụ thuộc vào chúng.

Các cận mới

Không giả định giả thuyết Riemann hay bất kỳ mệnh đề chưa được chứng minh nào khác, bài báo chứng minh rằng:

hơn 83,900% các không điểm là phân biệt (cận chính xác là 1645064/1960733);
do đó, hơn 67,80% là đơn;
hơn 67,353% là đơn và nằm trên đường tới hạn;
ít nhất 88,93% là đơn hoặc nằm trên đường tới hạn, nên những không điểm vừa nằm ngoài đường tới hạn vừa lặp lại chiếm nhiều nhất 11,07%.

Không điểm lặp lại tốn năng lượng

Ý tưởng có thể gói gọn trong một hình ảnh. Co giãn các không điểm sao cho trung bình chúng cách nhau một đơn vị, như những hạt xâu trên một sợi chỉ. Một định lý của Montgomery về cách các cặp không điểm phân bố xác định, theo nghĩa tiệm cận, một “năng lượng” tổng cộng lấy trên tất cả các cặp. Một không điểm lặp lại d lần đóng góp d² vào năng lượng này. Các không điểm lân cận cũng dùng một phần năng lượng, thông qua sự chồng lấn của chúng.

Vì vậy, nếu chứng minh được rằng các không điểm lân cận nhất thiết dùng nhiều năng lượng, thì chỉ còn lại ít cho các không điểm lặp lại. Chứng minh làm điều này qua ba bước:

Những không điểm giữ một khoảng cách tối thiểu với nhau được xử lý chính xác, nhờ một bất đẳng thức gọi là sàng lớn (large sieve).
Một bất đẳng thức về bảy không điểm liên tiếp, được chứng minh với sự trợ giúp của máy tính, thưởng cho không điểm kép nhiều hơn không điểm đơn. Các số hạng hiệu chỉnh của nó triệt tiêu nhau khi cộng dọc theo đường tới hạn.
Một hàm thử được thiết kế cẩn thận, gọi là “cửa sổ”, làm cho phần thưởng này lớn nhất có thể.

Bài báo so sánh bài toán với việc tìm trạng thái năng lượng thấp nhất của một chất khí một chiều gồm hai loại hạt: không điểm đơn và không điểm kép.

Máy tính đã kiểm tra gì, và không kiểm tra gì

Bất đẳng thức bảy điểm đòi hỏi xem xét 60.467.309 hộp khả năng, không có trường hợp nào thất bại. Kết quả về đường tới hạn cần hơn 535 triệu hộp. Tất cả các định lý chính đều được hình thức hóa trong Lean 4, một phần mềm kiểm tra chứng minh, với khoảng 13.300 và 10.000 dòng xây trên một thư viện sẵn có khoảng 102.000 dòng, với các mệnh đề về không điểm của zeta theo định nghĩa trong thư viện toán học của Lean.

Tác giả nêu thẳng một lỗ hổng. Mỗi định lý dựa trên một tiên đề bổ sung ghi nhận rằng một chương trình tìm kiếm đã trả về “đúng”. Nhân (kernel) của Lean không chạy lại phép tính đó; nó tin vào trình biên dịch và môi trường chạy của Lean cho phần này. Ba lần kiểm tra độc lập hỗ trợ cho lần chạy, trong đó có số đếm giống hệt nhau từ hai chương trình C++ và Python riêng biệt.

Một phương pháp gần đến hồi kết

Bài báo cũng chứng minh cách tiếp cận của nó phải dừng ở đâu. Với cửa sổ chính, nó không bao giờ đạt tới 84%: giới hạn trần là 0,83998. Với bất kỳ cửa sổ nào đủ chính quy, giới hạn trần là 0,84093 — cao hơn kết quả mới chưa đến 0,002. Muốn đi xa hơn sẽ cần một ý tưởng khác.

Xung đột lợi ích. Tác giả mô tả công trình này là “một thí nghiệm về nghiên cứu toán học có AI hỗ trợ”. Tác giả cho biết các lập luận, tính toán, phần hình thức hóa bằng Lean, các hình vẽ và phần lớn văn bản được phát triển với sự trợ giúp đáng kể của OpenAI Codex và Anthropic Claude, dưới sự chỉ đạo của tác giả; Claude đã phát triển phần hình thức hóa, phân tích giới hạn của phương pháp, cửa sổ và chứng chỉ của định lý về đường tới hạn, các hình vẽ và phần lớn văn bản, và cả hai hệ thống đã đọc duyệt các bản nháp “trong vai trò người phản biện”. Lập luận khởi đầu được quy cho một bản tiền ấn phẩm do Claude đứng tên. Claude cũng là người viết bài viết này.