MAIS DE 83,9% DOS ZEROS DA ZETA SÃO DISTINTOS

A função zeta de Riemann tem infinitos zeros “não triviais”, pontos do plano complexo onde ela se anula. Duas questões sobre eles continuam em aberto. Estarão todos na reta crítica, onde a parte real vale um meio? Essa é a hipótese de Riemann. E serão todos simples — cada zero é um único zero, e não dois ou mais empilhados no mesmo ponto? Essa é a conjectura dos zeros simples. Segundo o artigo, ninguém sabe se alguma dessas afirmações implica a outra.

Até uma altura de 3 × 10¹², os computadores verificaram que os zeros estão na reta e são simples. Além disso, os matemáticos provam proporções: pelo menos uma certa parcela de todos os zeros tem a propriedade.

Uma corrida medida em casas decimais

Kristian Muri Knausgård, de Kristiansand, na Noruega, expõe em detalhe a história recente. As proporções provadas de zeros distintos passaram de 63,9% para 70% e depois saltaram para 83,625% com um argumento que o artigo atribui a um preprint assinado pelo Claude (Anthropic), verificado pelos matemáticos Alpöge e Furman e provado de novo por Lamzouri. Seguiram-se pequenos avanços, incluindo o artigo anterior do próprio autor, com 83,6993%.

A introdução do artigo lista mais de uma dúzia de valores anunciados para zeros simples e na reta crítica, de 0,67300 a 0,673492, muitos publicados em repositórios públicos de código entre agosto e outubro de 2026 e sem revisão por pares. O autor afirma que esses valores não foram verificados para o artigo e que nenhum dos seus resultados depende deles.

Os novos limites

Sem supor a hipótese de Riemann nem qualquer outra afirmação não provada, o artigo prova que:

• mais de 83,900% dos zeros são distintos (o limite exato é 1645064/1960733);
• consequentemente, mais de 67,80% são simples;
• mais de 67,353% são simples e estão na reta crítica;
• pelo menos 88,93% são simples ou estão na reta, de modo que os zeros que estão fora da reta e são repetidos somam no máximo 11,07%.

Zeros repetidos custam energia

A ideia cabe numa imagem. Reescale os zeros para que fiquem, em média, a uma unidade de distância uns dos outros, como contas num fio. Um teorema de Montgomery sobre a distribuição dos pares de zeros fixa, assintoticamente, uma “energia” total somada sobre todos os pares. Um zero repetido d vezes contribui com d² para essa energia. Os zeros vizinhos também consomem parte dela, por meio das suas sobreposições.

Assim, se for possível provar que os vizinhos necessariamente consomem muita energia, sobra pouca para os zeros repetidos. A prova faz isso em três etapas:

1. Os zeros que mantêm uma distância mínima entre si são tratados de forma exata, graças a uma desigualdade conhecida como grande crivo.
2. Uma desigualdade sobre sete zeros consecutivos, provada com ajuda do computador, recompensa os zeros duplos mais que os simples. Seus termos de correção se cancelam quando somados ao longo da reta.
3. Uma função de teste cuidadosamente projetada, a “janela”, torna essa recompensa a maior possível.

O artigo compara o problema a encontrar o estado de menor energia de um gás unidimensional com dois tipos de partículas, zeros simples e zeros duplos.

O que o computador verificou, e o que não verificou

A desigualdade dos sete pontos exigiu examinar 60.467.309 caixas de possibilidades, sem nenhuma falha. O resultado sobre a reta crítica precisou de mais de 535 milhões. Todos os teoremas principais estão formalizados no Lean 4, um software de verificação de provas, em cerca de 13.300 e 10.000 linhas, sobre uma biblioteca já existente de cerca de 102.000 linhas, com enunciados sobre os zeros da zeta tal como definida na biblioteca matemática do Lean.

O autor declara abertamente uma lacuna. Cada teorema se apoia num axioma extra que registra que um programa de busca retornou “verdadeiro”. O núcleo do Lean não refaz esse cálculo; para isso, confia no compilador e no ambiente de execução do Lean. Três verificações independentes sustentam a execução, incluindo contagens idênticas de programas separados em C++ e Python.

Um método perto do fim

O artigo também prova onde a sua abordagem tem de parar. Com a sua janela principal, ela nunca pode chegar a 84%: o teto é 0,83998. Para qualquer janela razoavelmente regular, o teto é 0,84093 — menos de 0,002 acima do novo resultado. Ir além vai exigir uma ideia diferente.

Conflito de interesse. O autor descreve este trabalho como “um experimento de pesquisa matemática assistida por IA”. O autor declara que os argumentos, os cálculos, a formalização em Lean, as figuras e grande parte do texto foram desenvolvidos com ajuda substancial do OpenAI Codex e do Anthropic Claude, sob a direção do autor; o Claude desenvolveu a formalização, a análise dos limites do método, a janela e o certificado do teorema da reta crítica, as figuras e grande parte do texto, e os dois sistemas revisaram versões preliminares “no papel de pareceristas”. O argumento de partida é creditado a um preprint assinado pelo Claude. O Claude também escreveu o presente artigo.