زیٹا فنکشن کے 83.9% سے زیادہ صفر الگ الگ ہیں

ریمان زیٹا فنکشن کے لامحدود “غیر بدیہی” (non-trivial) صفر ہیں، یعنی مختلط مستوی کے وہ نقاط جہاں اس کی قدر صفر ہو جاتی ہے۔ ان کے بارے میں دو سوال اب بھی کھلے ہیں۔ کیا وہ سب فیصلہ کن لکیر (critical line) پر ہیں، جہاں ان کا حقیقی حصہ نصف کے برابر ہوتا ہے؟ یہ ریمان مفروضہ ہے۔ اور کیا وہ سب سادہ ہیں — کیا ہر صفر ایک واحد صفر ہے، نہ کہ ایک ہی نقطے پر دو یا زیادہ تہہ در تہہ؟ یہ سادہ صفروں کا قیاس ہے۔ مقالے کے مطابق کوئی نہیں جانتا کہ آیا ان میں سے کوئی ایک بیان دوسرے کو لازم کرتا ہے۔

3 × 10¹² کی بلندی تک کمپیوٹرز جانچ چکے ہیں کہ صفر لکیر پر ہیں اور سادہ ہیں۔ اس سے آگے ریاضی دان تناسب ثابت کرتے ہیں: تمام صفروں کا کم از کم اتنا حصہ اس خاصیت کا حامل ہے۔

اعشاریوں میں ناپی جانے والی دوڑ

ناروے کے شہر کرسٹیان سینڈ کے کرسٹیان موری کناؤس گورد (Kristian Muri Knausgård) حالیہ تاریخ تفصیل سے بیان کرتے ہیں۔ الگ الگ صفروں کے ثابت شدہ تناسب 63.9% سے 70% تک گئے، پھر ایک ایسی دلیل کے ساتھ 83.625% تک جا پہنچے جسے مقالہ Claude (Anthropic) کے دستخط والے ایک پری پرنٹ سے منسوب کرتا ہے، جس کی تصدیق ریاضی دانوں الپوگے اور فرمن (Alpöge and Furman) نے کی اور لامزوری (Lamzouri) نے اسے دوبارہ ثابت کیا۔ اس کے بعد چھوٹی چھوٹی پیش رفتیں ہوئیں، جن میں مصنف کا اپنا سابقہ مقالہ بھی شامل ہے جس میں یہ تناسب 83.6993% تھا۔

مقالے کا تعارف ان صفروں کے لیے، جو سادہ ہیں اور فیصلہ کن لکیر پر ہیں، ایک درجن سے زیادہ اعلان شدہ قدریں گنواتا ہے، جو 0.67300 سے 0.673492 تک ہیں؛ ان میں سے بہت سی اگست اور اکتوبر 2026 کے درمیان عوامی کوڈ ذخیروں میں شائع ہوئیں اور ان کا ہم مرتبہ جائزہ نہیں ہوا۔ مصنف بتاتے ہیں کہ ان قدروں کی اس مقالے کے لیے تصدیق نہیں کی گئی اور اس کا کوئی نتیجہ ان پر منحصر نہیں۔

نئی حدود

ریمان مفروضے یا کسی دوسرے غیر ثابت شدہ بیان کو فرض کیے بغیر مقالہ ثابت کرتا ہے کہ:

83.900% سے زیادہ صفر الگ الگ ہیں (عین حد 1645064/1960733 ہے)؛
نتیجتاً 67.80% سے زیادہ سادہ ہیں؛
67.353% سے زیادہ سادہ بھی ہیں اور فیصلہ کن لکیر پر بھی؛
کم از کم 88.93% یا تو سادہ ہیں یا لکیر پر، چنانچہ وہ صفر جو لکیر سے باہر بھی ہوں اور دہرائے ہوئے بھی، زیادہ سے زیادہ 11.07% ہیں۔

دہرائے ہوئے صفر توانائی کھاتے ہیں

خیال ایک تصویر میں سما جاتا ہے۔ صفروں کا پیمانہ اس طرح بدلیں کہ اوسطاً وہ ایک دوسرے سے ایک اکائی کے فاصلے پر ہوں، جیسے دھاگے میں پروئے موتی۔ صفروں کے جوڑوں کی تقسیم کے بارے میں مونٹگمری (Montgomery) کا ایک مسئلہ، تقاربی طور پر، تمام جوڑوں پر جمع کی گئی ایک کل “توانائی” کو مقرر کر دیتا ہے۔ d بار دہرایا گیا صفر اس توانائی میں d² کا حصہ ڈالتا ہے۔ پڑوسی صفر بھی اپنے باہمی تداخل کے ذریعے اس کا کچھ حصہ استعمال کرتے ہیں۔

لہٰذا اگر یہ ثابت کیا جا سکے کہ پڑوسی لازماً بہت سی توانائی استعمال کرتے ہیں، تو دہرائے ہوئے صفروں کے لیے بہت کم بچتی ہے۔ ثبوت یہ کام تین مراحل میں کرتا ہے:

وہ صفر جو ایک دوسرے سے کم از کم فاصلہ برقرار رکھتے ہیں، بڑی چھلنی (large sieve) نامی ایک نامساوات کی بدولت ٹھیک ٹھیک نمٹائے جاتے ہیں۔
سات مسلسل صفروں پر ایک نامساوات، جو کمپیوٹر کی مدد سے ثابت کی گئی، دوہرے صفروں کو سادہ صفروں سے زیادہ انعام دیتی ہے۔ اس کی تصحیحی رقمیں لکیر کے ساتھ جمع کرنے پر ایک دوسرے کو ختم کر دیتی ہیں۔
احتیاط سے تیار کیا گیا ایک ٹیسٹ فنکشن، “کھڑکی”، اس انعام کو زیادہ سے زیادہ بڑا بنا دیتا ہے۔

مقالہ اس مسئلے کو ایک یک جہتی گیس کی کم ترین توانائی والی حالت ڈھونڈنے سے تشبیہ دیتا ہے، جس میں دو قسم کے ذرات ہوں: سادہ اور دوہرے صفر۔

کمپیوٹر نے کیا جانچا، اور کیا نہیں

سات نقاطی نامساوات کے لیے امکانات کے 6 کروڑ 4 لاکھ 67 ہزار 309 خانوں کا جائزہ لینا پڑا، بغیر کسی ناکامی کے۔ فیصلہ کن لکیر والے نتیجے کے لیے 53 کروڑ 50 لاکھ سے زیادہ کی ضرورت پڑی۔ تمام بنیادی مسئلوں کو ثبوت جانچنے والے سافٹ ویئر Lean 4 میں باضابطہ شکل دی گئی ہے، تقریباً 13,300 اور 10,000 سطروں میں، جو تقریباً 1,02,000 سطروں کی پہلے سے موجود لائبریری پر قائم ہیں، اور ان کے بیانات زیٹا کے صفروں کے بارے میں ہیں جیسا کہ اسے Lean کی ریاضیاتی لائبریری میں بیان کیا گیا ہے۔

مصنف ایک کمی کا صاف صاف اعتراف کرتے ہیں۔ ہر مسئلہ ایک اضافی اصلِ موضوعہ پر قائم ہے جو یہ درج کرتا ہے کہ ایک تلاشی پروگرام نے “درست” کا جواب دیا۔ Lean کا کرنل یہ حساب دوبارہ نہیں چلاتا؛ اس کے لیے وہ Lean کے کمپائلر اور رن ٹائم پر بھروسہ کرتا ہے۔ تین آزاد جانچیں اس عمل کی تائید کرتی ہیں، جن میں الگ الگ C++ اور Python پروگراموں سے یکساں گنتیاں بھی شامل ہیں۔

اپنے انجام کے قریب ایک طریقہ

مقالہ یہ بھی ثابت کرتا ہے کہ اس کے طریقے کو کہاں رکنا ہوگا۔ اپنی مرکزی کھڑکی کے ساتھ یہ کبھی 84% تک نہیں پہنچ سکتا: بالائی حد 0.83998 ہے۔ کسی بھی معقول حد تک باقاعدہ کھڑکی کے لیے بالائی حد 0.84093 ہے — نئے نتیجے سے 0.002 سے بھی کم اوپر۔ آگے بڑھنے کے لیے ایک مختلف خیال درکار ہوگا۔

مفادات کا ٹکراؤ۔ مصنف اس کام کو “مصنوعی ذہانت کی مدد سے ریاضیاتی تحقیق کا ایک تجربہ” قرار دیتے ہیں۔ مصنف بتاتے ہیں کہ دلائل، حسابات، Lean میں باضابطگی، اشکال اور متن کا بڑا حصہ مصنف کی رہنمائی میں OpenAI Codex اور Anthropic Claude کی خاطر خواہ مدد سے تیار کیا گیا؛ Claude نے باضابطگی، طریقے کی حدود کا تجزیہ، فیصلہ کن لکیر والے مسئلے کی کھڑکی اور سند، اشکال اور متن کا بڑا حصہ تیار کیا، اور دونوں نظاموں نے مسودوں کا “مبصرین کے کردار میں” جائزہ لیا۔ ابتدائی دلیل کا سہرا Claude کے دستخط والے ایک پری پرنٹ کے سر ہے۔ یہ مضمون بھی Claude نے لکھا ہے۔