জিটার শূন্যগুলোর ৮৩.৯%-এর বেশি পরস্পর ভিন্ন

রিমান জিটা ফাংশনের অসীমসংখ্যক “অতুচ্ছ” (non-trivial) শূন্য আছে, অর্থাৎ জটিল সমতলের এমন বিন্দু যেখানে ফাংশনটির মান শূন্য হয়ে যায়। এগুলো নিয়ে দুটি প্রশ্ন এখনো খোলা। সেগুলো কি সবই ক্রান্তি রেখা-র ওপর আছে, যেখানে তাদের বাস্তব অংশ অর্ধেকের সমান? সেটাই রিমান প্রকল্প। আর সেগুলো কি সবই সরল — অর্থাৎ প্রতিটি শূন্য কি একটিমাত্র শূন্য, একই বিন্দুতে স্তূপ হয়ে থাকা দুই বা ততোধিক শূন্য নয়? সেটাই সরল শূন্যের অনুমান (simple zeros conjecture)। গবেষণাপত্র অনুসারে, এই দুটি বিবৃতির কোনো একটি অন্যটিকে অনিবার্য করে কি না, তা কেউ জানে না।

৩ × ১০¹² উচ্চতা পর্যন্ত কম্পিউটার যাচাই করেছে যে শূন্যগুলো রেখার ওপর আছে এবং সরল। তার বাইরে গণিতবিদেরা অনুপাত প্রমাণ করেন: সমস্ত শূন্যের অন্তত এতটা অংশের এই বৈশিষ্ট্য আছে।

দশমিকের ঘরে মাপা এক প্রতিযোগিতা

নরওয়ের ক্রিস্টিয়ানসান্দের ক্রিস্টিয়ান মুরি ক্নাউসগার্ড (Kristian Muri Knausgård) সাম্প্রতিক ইতিহাস বিশদে তুলে ধরেছেন। পরস্পর ভিন্ন শূন্যের প্রমাণিত অনুপাত ৬৩.৯% থেকে ৭০%-এ যায়, তারপর লাফিয়ে ৮৩.৬২৫%-এ পৌঁছায় এমন এক যুক্তিতে, যা গবেষণাপত্রটি Claude (Anthropic)-এর নামে প্রকাশিত একটি প্রিপ্রিন্টের বলে উল্লেখ করেছে; যুক্তিটি গণিতবিদ Alpöge ও Furman যাচাই করেছেন এবং Lamzouri নতুন করে প্রমাণ করেছেন। এরপর এসেছে ছোট ছোট অগ্রগতি, যার মধ্যে লেখকের নিজের আগের গবেষণাপত্রও আছে, ৮৩.৬৯৯৩% নিয়ে।

গবেষণাপত্রের ভূমিকায় সরল এবং ক্রান্তি রেখার ওপর থাকা শূন্যের জন্য ঘোষিত এক ডজনেরও বেশি মানের তালিকা আছে, ০.৬৭৩০০ থেকে ০.৬৭৩৪৯২ পর্যন্ত; এগুলোর অনেকগুলো ২০২৬ সালের আগস্ট থেকে অক্টোবরের মধ্যে প্রকাশ্য কোড রিপোজিটরিতে দেওয়া হয়েছিল এবং পিয়ার-রিভিউ হয়নি। লেখক জানিয়েছেন যে গবেষণাপত্রের জন্য এই মানগুলো যাচাই করা হয়নি এবং এর কোনো ফলই এগুলোর ওপর নির্ভর করে না।

নতুন সীমা

রিমান প্রকল্প বা অন্য কোনো অপ্রমাণিত বিবৃতি ধরে না নিয়েই গবেষণাপত্রটি প্রমাণ করে যে:

শূন্যগুলোর ৮৩.৯০০%-এর বেশি পরস্পর ভিন্ন (সঠিক সীমা হলো ১৬৪৫০৬৪/১৯৬০৭৩৩);
ফলে, ৬৭.৮০%-এর বেশি সরল;
৬৭.৩৫৩%-এর বেশি সরল এবং ক্রান্তি রেখার ওপর অবস্থিত;
অন্তত ৮৮.৯৩% সরল অথবা রেখার ওপর অবস্থিত, তাই যে শূন্যগুলো একই সঙ্গে রেখার বাইরে এবং পুনরাবৃত্ত, সেগুলো সর্বোচ্চ ১১.০৭%।

পুনরাবৃত্ত শূন্যের জন্য শক্তি খরচ হয়

ধারণাটি একটি ছবিতেই ধরা যায়। শূন্যগুলোর মাপ এমনভাবে বদলান যাতে গড়ে তাদের মধ্যে এক একক ব্যবধান থাকে, সুতোয় গাঁথা পুঁতির মতো। শূন্যের জোড়গুলো কীভাবে বণ্টিত, সে বিষয়ে মন্টগোমারির (Montgomery) একটি উপপাদ্য সব জোড়ের ওপর যোগ করা মোট একটি “শক্তি”-কে অসীমতটীয়ভাবে (asymptotically) নির্দিষ্ট করে দেয়। d বার পুনরাবৃত্ত একটি শূন্য এই শক্তিতে d² যোগ করে। প্রতিবেশী শূন্যগুলোও তাদের পারস্পরিক উপরিপাতের (overlap) মাধ্যমে এর কিছুটা ব্যবহার করে।

তাই যদি প্রমাণ করা যায় যে প্রতিবেশীরা অবশ্যই অনেকটা শক্তি ব্যবহার করে, তাহলে পুনরাবৃত্ত শূন্যের জন্য সামান্যই বাকি থাকে। প্রমাণটি এটা করে তিন ধাপে:

যে শূন্যগুলো একে অপরের থেকে একটি ন্যূনতম দূরত্ব বজায় রাখে, সেগুলোকে বৃহৎ ছাঁকনি (large sieve) নামে পরিচিত একটি অসমতার সাহায্যে নিখুঁতভাবে সামলানো হয়।
সাতটি পরপর শূন্য-এর ওপর একটি অসমতা, যা কম্পিউটারের সাহায্যে প্রমাণিত, দ্বিগুণ শূন্যকে সরল শূন্যের চেয়ে বেশি পুরস্কৃত করে। রেখা বরাবর যোগ করলে এর সংশোধন পদগুলো পরস্পরকে বাতিল করে দেয়।
যত্ন করে নকশা করা একটি পরীক্ষা ফাংশন, “উইন্ডো”, এই পুরস্কারকে যতটা সম্ভব বড় করে।

গবেষণাপত্রটি সমস্যাটিকে তুলনা করেছে দুই ধরনের কণা — সরল ও দ্বিগুণ শূন্য — নিয়ে গঠিত এক-মাত্রিক একটি গ্যাসের সর্বনিম্ন-শক্তির অবস্থা খোঁজার সঙ্গে।

কম্পিউটার কী যাচাই করেছে, আর কী করেনি

সাত-বিন্দুর অসমতার জন্য সম্ভাবনার ৬০,৪৬৭,৩০৯টি বাক্স পরীক্ষা করতে হয়েছে, একটিতেও ব্যর্থতা মেলেনি। ক্রান্তি রেখার ফলের জন্য লেগেছে ৫৩৫ মিলিয়নেরও বেশি। সমস্ত প্রধান উপপাদ্য প্রমাণ-যাচাইয়ের সফটওয়্যার Lean 4-এ আনুষ্ঠানিকভাবে রূপায়িত, প্রায় ১৩,৩০০ ও ১০,০০০ লাইনে, প্রায় ১০২,০০০ লাইনের একটি বিদ্যমান লাইব্রেরির ওপর, এবং জিটার শূন্য সম্পর্কিত বিবৃতিগুলো Lean-এর গাণিতিক লাইব্রেরিতে দেওয়া সংজ্ঞা অনুসারে।

লেখক একটি ফাঁক স্পষ্টভাবে জানিয়েছেন। প্রতিটি উপপাদ্য একটি অতিরিক্ত স্বতঃসিদ্ধের ওপর দাঁড়িয়ে, যা লিপিবদ্ধ করে যে একটি অনুসন্ধান প্রোগ্রাম “সত্য” ফেরত দিয়েছে। Lean-এর কার্নেল সেই গণনা আবার চালায় না; এর জন্য সে Lean-এর কম্পাইলার ও রানটাইমের ওপর ভরসা করে। তিনটি স্বাধীন যাচাই এই রানকে সমর্থন করে, যার মধ্যে আছে আলাদা C++ ও Python প্রোগ্রাম থেকে পাওয়া হুবহু এক গণনা।

শেষের কাছাকাছি একটি পদ্ধতি

গবেষণাপত্রটি এটাও প্রমাণ করে যে এর পদ্ধতিকে কোথায় থামতেই হবে। মূল উইন্ডো দিয়ে এটি কখনোই ৮৪%-এ পৌঁছাতে পারবে না: ঊর্ধ্বসীমা ০.৮৩৯৯৮। যেকোনো যথেষ্ট নিয়মিত উইন্ডোর জন্য ঊর্ধ্বসীমা ০.৮৪০৯৩ — নতুন ফলের চেয়ে ০.০০২-এরও কম বেশি। আরও এগোতে হলে ভিন্ন একটি ধারণা লাগবে।

স্বার্থের সংঘাত। লেখক এই কাজকে “এআই-সহায়তায় গাণিতিক গবেষণার একটি পরীক্ষা” হিসেবে বর্ণনা করেছেন। লেখক জানিয়েছেন যে যুক্তি, গণনা, Lean-এ আনুষ্ঠানিক রূপায়ণ, চিত্র এবং লেখার বড় অংশ লেখকের নির্দেশনায় OpenAI Codex ও Anthropic Claude-এর উল্লেখযোগ্য সাহায্যে তৈরি; Claude তৈরি করেছে আনুষ্ঠানিক রূপায়ণ, পদ্ধতির সীমার বিশ্লেষণ, ক্রান্তি রেখা উপপাদ্যের উইন্ডো ও সার্টিফিকেট, চিত্র এবং লেখার বড় অংশ, আর দুটি ব্যবস্থাই “রেফারির ভূমিকায়” খসড়া পর্যালোচনা করেছে। শুরুর যুক্তিটির কৃতিত্ব দেওয়া হয়েছে Claude-এর নামে প্রকাশিত একটি প্রিপ্রিন্টকে। এই নিবন্ধটিও Claude-ই লিখেছে।