ZETA'NIN SIFIRLARININ %83,9'UNDAN FAZLASI BİRBİRİNDEN FARKLI

Riemann zeta fonksiyonunun sonsuz sayıda “aşikâr olmayan” sıfırı vardır; bunlar karmaşık düzlemde fonksiyonun sıfırlandığı noktalardır. Bunlarla ilgili iki soru açık kalıyor. Hepsi gerçel kısmı bir buçuğa eşit olan kritik doğru üzerinde mi bulunuyor? Bu, Riemann hipotezidir. Ve hepsi basit mi — her sıfır, aynı noktada üst üste binmiş iki ya da daha fazla sıfır değil de tek bir sıfır mı? Bu da basit sıfırlar sanısıdır. Makaleye göre bu iki önermeden birinin diğerini gerektirip gerektirmediğini kimse bilmiyor.

3 × 10¹² yüksekliğine kadar bilgisayarlar sıfırların doğru üzerinde olduğunu ve basit olduğunu denetledi. Bunun ötesinde matematikçiler oranlar kanıtlıyor: tüm sıfırların en az şu kadarı bu özelliğe sahiptir.

Ondalık basamaklarla ölçülen bir yarış

Norveç’in Kristiansand kentinden Kristian Muri Knausgård, yakın tarihi ayrıntılı biçimde anlatıyor. Birbirinden farklı sıfırların kanıtlanmış oranları %63,9’dan %70’e çıktı, ardından makalenin Claude (Anthropic) imzalı bir ön baskıya atfettiği, matematikçiler Alpöge ve Furman tarafından doğrulanan ve Lamzouri tarafından yeniden kanıtlanan bir argümanla %83,625’e sıçradı. Ardından küçük kazanımlar geldi; yazarın %83,6993’teki önceki makalesi de bunlara dahil.

Makalenin giriş bölümü, basit ve kritik doğru üzerinde olan sıfırlar için 0,67300’den 0,673492’ye uzanan bir düzineden fazla duyurulmuş değer sıralıyor; bunların çoğu Ağustos–Ekim 2026 arasında kamuya açık kod depolarında yayımlanmış ve hakem denetiminden geçmemiş. Yazar bu değerlerin makale için doğrulanmadığını ve sonuçlarının hiçbirinin onlara dayanmadığını belirtiyor.

Yeni sınırlar

Riemann hipotezini ya da kanıtlanmamış başka herhangi bir önermeyi varsaymadan makale şunları kanıtlıyor:

• sıfırların %83,900’ünden fazlası birbirinden farklı (tam sınır 1645064/1960733);
• sonuç olarak %67,80’inden fazlası basit;
• %67,353’ünden fazlası basit ve kritik doğru üzerinde;
• en az %88,93’ü basit ya da doğru üzerinde; yani hem doğrunun dışında hem de tekrarlanan sıfırlar en fazla %11,07’yi oluşturuyor.

Tekrarlanan sıfırlar enerjiye mal oluyor

Fikir tek bir resme sığıyor. Sıfırları, ortalamada bir birim arayla dizilecek şekilde yeniden ölçeklendirin; bir ipliğe dizilmiş boncuklar gibi. Montgomery’nin sıfır çiftlerinin nasıl dağıldığına ilişkin bir teoremi, tüm çiftler üzerinden toplanan toplam bir “enerjiyi” asimptotik olarak sabitliyor. d kez tekrarlanan bir sıfır bu enerjiye d² katkıda bulunuyor. Komşu sıfırlar da örtüşmeleri yoluyla bu enerjinin bir kısmını kullanıyor.

Dolayısıyla komşuların zorunlu olarak çok enerji kullandığı kanıtlanabilirse, tekrarlanan sıfırlara az enerji kalır. Kanıt bunu üç adımda yapıyor:

1. Birbirinden asgari bir mesafeyi koruyan sıfırlar, büyük elek (large sieve) olarak bilinen bir eşitsizlik sayesinde tam olarak ele alınıyor.
2. Bilgisayar yardımıyla kanıtlanan, ardışık yedi sıfır üzerine bir eşitsizlik, çift sıfırları basit olanlardan daha çok ödüllendiriyor. Düzeltme terimleri doğru boyunca toplandığında birbirini götürüyor.
3. Özenle tasarlanmış bir test fonksiyonu, “pencere”, bu ödülü olabildiğince büyük kılıyor.

Makale problemi, iki tür parçacıktan — basit ve çift sıfırlar — oluşan tek boyutlu bir gazın en düşük enerjili durumunu bulmaya benzetiyor.

Bilgisayarın denetledikleri ve denetlemedikleri

Yedi noktalı eşitsizlik, olasılıklardan oluşan 60.467.309 kutunun incelenmesini gerektirdi; hiçbir başarısızlık olmadı. Kritik doğru sonucu 535 milyondan fazlasını gerektirdi. Tüm ana teoremler bir kanıt denetleme yazılımı olan Lean 4’te, yaklaşık 102.000 satırlık mevcut bir kütüphanenin üzerine yaklaşık 13.300 ve 10.000 satırla biçimselleştirildi; zeta’nın sıfırlarıyla ilgili önermeler Lean’in matematik kütüphanesinde tanımlandığı biçimiyle.

Yazar bir boşluğu açıkça belirtiyor. Her teorem, bir arama programının “doğru” (true) döndürdüğünü kaydeden ek bir aksiyoma dayanıyor. Lean’in çekirdeği bu hesaplamayı yeniden çalıştırmıyor; bunun için Lean’in derleyicisine ve çalışma zamanına güveniyor. Çalıştırmayı üç bağımsız denetim destekliyor; bunlar arasında ayrı C++ ve Python programlarından gelen özdeş sayımlar da var.

Sonuna yaklaşan bir yöntem

Makale ayrıca yaklaşımının nerede durması gerektiğini de kanıtlıyor. Ana penceresiyle asla %84’e ulaşamaz: tavan 0,83998. Makul ölçüde düzenli herhangi bir pencere için tavan 0,84093 — yeni sonucun 0,002’den az üzerinde. Daha ileri gitmek farklı bir fikir gerektirecek.

Çıkar çatışması. Yazar bu çalışmayı “yapay zekâ destekli matematiksel araştırmada bir deney” olarak tanımlıyor. Yazar, argümanların, hesaplamaların, Lean biçimselleştirmesinin, şekillerin ve metnin büyük kısmının kendi yönlendirmesi altında OpenAI Codex ve Anthropic Claude’un kayda değer yardımıyla geliştirildiğini belirtiyor; Claude biçimselleştirmeyi, yöntemin sınırlarının analizini, kritik doğru teoreminin penceresini ve sertifikasını, şekilleri ve metnin büyük kısmını geliştirdi ve her iki sistem de taslakları “hakem rolünde” inceledi. Başlangıç argümanı Claude imzalı bir ön baskıya atfediliyor. Bu makaleyi de Claude yazdı.