ज़ीटा के 83.9% से ज़्यादा शून्यक अलग-अलग हैं

रीमान ज़ीटा फलन के अनंत “अतुच्छ” (non-trivial) शून्यक हैं, यानी सम्मिश्र समतल के वे बिंदु जहाँ फलन का मान शून्य हो जाता है। उनके बारे में दो सवाल अब भी खुले हैं। क्या वे सभी क्रांतिक रेखा पर हैं, जहाँ उनका वास्तविक भाग आधा होता है? यही रीमान परिकल्पना है। और क्या वे सभी सरल हैं — यानी क्या हर शून्यक एक अकेला शून्यक है, न कि एक ही बिंदु पर जमा दो या अधिक शून्यक? यह सरल शून्यकों की अनुमान-कल्पना (simple zeros conjecture) है। शोधपत्र के अनुसार, कोई नहीं जानता कि इन दोनों कथनों में से कोई एक दूसरे को निहित करता है या नहीं।

3 × 10¹² की ऊँचाई तक कंप्यूटरों ने जाँच लिया है कि शून्यक रेखा पर हैं और सरल हैं। उससे आगे गणितज्ञ अनुपात सिद्ध करते हैं: सभी शून्यकों में से कम से कम इतना हिस्सा उस गुण वाला है।

दशमलव के अंकों में मापी जाने वाली होड़

नॉर्वे के क्रिस्टियानसान के क्रिस्टियन मुरी क्नौसगार्ड (Kristian Muri Knausgård) हाल का इतिहास विस्तार से बताते हैं। अलग-अलग शून्यकों के सिद्ध अनुपात 63.9% से 70% तक गए, फिर एक ऐसे तर्क से उछलकर 83.625% पर पहुँचे जिसे शोधपत्र Claude (Anthropic) के नाम से प्रकाशित एक प्रीप्रिंट का बताता है; इस तर्क को गणितज्ञ Alpöge और Furman ने सत्यापित किया और Lamzouri ने दोबारा सिद्ध किया। इसके बाद छोटी-छोटी बढ़त आई, जिनमें लेखक का अपना पिछला शोधपत्र भी है, 83.6993% के साथ।

शोधपत्र की भूमिका उन शून्यकों के लिए, जो सरल भी हैं और क्रांतिक रेखा पर भी, घोषित किए गए एक दर्जन से ज़्यादा मान गिनाती है — 0.67300 से 0.673492 तक। इनमें से कई अगस्त और अक्टूबर 2026 के बीच सार्वजनिक कोड रिपॉज़िटरी में डाले गए थे और उनकी समकक्ष समीक्षा नहीं हुई है। लेखक कहते हैं कि शोधपत्र के लिए इन मानों का सत्यापन नहीं किया गया है और इसका कोई भी नतीजा इन पर निर्भर नहीं है।

नई सीमाएँ

रीमान परिकल्पना या किसी और असिद्ध कथन को माने बिना, शोधपत्र सिद्ध करता है कि:

• 83.900% से ज़्यादा शून्यक अलग-अलग हैं (सटीक सीमा 1645064/1960733 है);
• परिणामस्वरूप, 67.80% से ज़्यादा सरल हैं;
• 67.353% से ज़्यादा सरल और क्रांतिक रेखा पर हैं;
• कम से कम 88.93% सरल हैं या रेखा पर हैं, इसलिए जो शून्यक रेखा से बाहर भी हैं और दोहराए भी गए हैं, वे अधिकतम 11.07% हैं।

दोहराए गए शून्यकों पर ऊर्जा ख़र्च होती है

विचार को एक तस्वीर में समझा जा सकता है। शून्यकों का पैमाना बदलिए ताकि उनके बीच औसतन एक इकाई की दूरी हो, जैसे धागे पर मनके। शून्यकों के जोड़े कैसे वितरित होते हैं, इस पर मॉन्टगोमरी (Montgomery) का एक प्रमेय सभी जोड़ों पर जोड़ी गई कुल “ऊर्जा” को अनंतस्पर्शी रूप से (asymptotically) तय कर देता है। d बार दोहराया गया शून्यक इस ऊर्जा में d² का योगदान देता है। पड़ोसी शून्यक भी अपने अतिव्यापन (overlap) के ज़रिए इसका कुछ हिस्सा इस्तेमाल करते हैं।

इसलिए अगर यह सिद्ध किया जा सके कि पड़ोसी अनिवार्य रूप से बहुत ऊर्जा इस्तेमाल करते हैं, तो दोहराए गए शून्यकों के लिए कम बचती है। प्रमाण यह तीन चरणों में करता है:

1. जो शून्यक एक-दूसरे से एक न्यूनतम दूरी बनाए रखते हैं, उन्हें बृहत् छलनी (large sieve) नामक एक असमिका की मदद से सटीक रूप से संभाला जाता है।
2. सात क्रमागत शून्यकों पर एक असमिका, जो कंप्यूटर की मदद से सिद्ध की गई है, दोहरे शून्यकों को सरल शून्यकों से ज़्यादा पुरस्कृत करती है। रेखा के साथ जोड़ने पर इसके संशोधन पद एक-दूसरे को काट देते हैं।
3. ध्यान से बनाया गया एक परीक्षण फलन, “विंडो”, इस पुरस्कार को जितना हो सके उतना बड़ा बनाता है।

शोधपत्र इस समस्या की तुलना एक ऐसी एक-आयामी गैस की न्यूनतम-ऊर्जा अवस्था खोजने से करता है जिसमें दो तरह के कण हैं: सरल और दोहरे शून्यक।

कंप्यूटर ने क्या जाँचा, और क्या नहीं

सात-बिंदु असमिका के लिए संभावनाओं के 60,467,309 बक्सों की जाँच करनी पड़ी, और एक में भी विफलता नहीं मिली। क्रांतिक रेखा वाले नतीजे के लिए 53.5 करोड़ से ज़्यादा की ज़रूरत पड़ी। सभी मुख्य प्रमेय प्रमाण-जाँच सॉफ़्टवेयर Lean 4 में औपचारिक रूप से लिखे गए हैं, लगभग 13,300 और 10,000 पंक्तियों में, लगभग 102,000 पंक्तियों की एक मौजूदा लाइब्रेरी के ऊपर, और ज़ीटा के शून्यकों से जुड़े कथन उसी परिभाषा पर आधारित हैं जो Lean की गणितीय लाइब्रेरी में है।

लेखक एक कमी साफ़-साफ़ बताते हैं। हर प्रमेय एक अतिरिक्त अभिगृहीत पर टिका है, जो यह दर्ज करता है कि एक खोज प्रोग्राम ने “सत्य” लौटाया। Lean का कर्नेल उस गणना को दोबारा नहीं चलाता; इसके लिए वह Lean के कंपाइलर और रनटाइम पर भरोसा करता है। तीन स्वतंत्र जाँचें इस रन का समर्थन करती हैं, जिनमें अलग-अलग C++ और Python प्रोग्रामों से मिली एक जैसी गिनतियाँ शामिल हैं।

अपने अंत के क़रीब एक विधि

शोधपत्र यह भी सिद्ध करता है कि उसका तरीक़ा कहाँ रुकने को मजबूर है। अपनी मुख्य विंडो के साथ यह कभी 84% तक नहीं पहुँच सकता: छत 0.83998 है। किसी भी पर्याप्त रूप से नियमित विंडो के लिए छत 0.84093 है — नए नतीजे से 0.002 से भी कम ऊपर। आगे बढ़ने के लिए एक अलग विचार चाहिए होगा।

हितों का टकराव। लेखक इस काम को “AI की सहायता से गणितीय शोध का एक प्रयोग” बताते हैं। लेखक कहते हैं कि तर्क, गणनाएँ, Lean औपचारिकीकरण, चित्र और पाठ का बड़ा हिस्सा लेखक के निर्देशन में OpenAI Codex और Anthropic Claude की उल्लेखनीय मदद से विकसित किए गए; Claude ने औपचारिकीकरण, विधि की सीमाओं का विश्लेषण, क्रांतिक रेखा वाले प्रमेय की विंडो और प्रमाणपत्र, चित्र और पाठ का बड़ा हिस्सा विकसित किया, और दोनों तंत्रों ने “समीक्षकों की भूमिका में” मसौदों की समीक्षा की। शुरुआती तर्क का श्रेय Claude के नाम से प्रकाशित एक प्रीप्रिंट को दिया गया है। यह लेख भी Claude ने ही लिखा है।