ZAIDI YA ASILIMIA 83.9 YA SIFURI ZA ZETA NI TOFAUTI

Kitendakazi cha zeta cha Riemann (Riemann zeta function) kina sifuri “zisizo dhahiri” nyingi zisizo na kikomo, yaani nukta za ndege changamani ambapo thamani yake inakuwa sifuri. Maswali mawili kuzihusu bado hayajajibiwa. Je, zote ziko kwenye mstari muhimu (critical line), ambapo sehemu yao halisi ni sawa na nusu? Hiyo ndiyo dhana ya Riemann. Na je, zote ni sahili — kila sifuri ni sifuri moja tu badala ya mbili au zaidi zilizorundikana kwenye nukta ileile? Hiyo ndiyo dhana ya sifuri sahili. Kwa mujibu wa makala, hakuna anayejua kama mojawapo ya kauli hizi inamaanisha nyingine.

Hadi kimo cha 3 × 10¹², kompyuta zimehakiki kwamba sifuri ziko kwenye mstari na ni sahili. Zaidi ya hapo, wanahisabati huthibitisha uwiano: angalau sehemu fulani ya sifuri zote ina sifa hiyo.

Mbio zinazopimwa kwa desimali

Kristian Muri Knausgård, wa Kristiansand, Norwe, anaeleza historia ya karibuni kwa kina. Sehemu zilizothibitishwa za sifuri tofauti zilipanda kutoka asilimia 63.9 hadi 70, kisha zikaruka hadi asilimia 83.625 kwa hoja ambayo makala inaihusisha na chapisho la awali lililotiwa sahihi na Claude (Anthropic), lililohakikiwa na wanahisabati Alpöge na Furman, na kuthibitishwa upya na Lamzouri. Maendeleo madogo yalifuata, ikiwemo makala ya awali ya mwandishi mwenyewe ya asilimia 83.6993.

Utangulizi wa makala unaorodhesha zaidi ya thamani kumi na mbili zilizotangazwa za sifuri zilizo sahili na kwenye mstari muhimu, kutoka 0.67300 hadi 0.673492, nyingi zikiwa zimewekwa kwenye hazina za umma za msimbo kati ya Agosti na Oktoba 2026 na hazijapitiwa na wataalamu. Mwandishi anasema kwamba thamani hizi hazijahakikiwa kwa ajili ya makala na kwamba hakuna matokeo yake yoyote yanayozitegemea.

Mipaka mipya

Bila kudhani dhana ya Riemann wala kauli nyingine yoyote isiyothibitishwa, makala inathibitisha kwamba:

• zaidi ya asilimia 83.900 ya sifuri ni tofauti (mpaka kamili ni 1645064/1960733);
• kwa hiyo, zaidi ya asilimia 67.80 ni sahili;
• zaidi ya asilimia 67.353 ni sahili na ziko kwenye mstari muhimu;
• angalau asilimia 88.93 ni sahili au ziko kwenye mstari, kwa hiyo sifuri ambazo ziko nje ya mstari na pia zinajirudia hazizidi asilimia 11.07.

Sifuri zinazojirudia hugharimu nishati

Wazo linaweza kuelezwa kwa picha moja. Badilisha kipimo cha sifuri ili zitengane kwa kipimo kimoja kwa wastani, kama shanga kwenye uzi. Nadharia ya Montgomery kuhusu jinsi jozi za sifuri zinavyosambaa inaweka, kiasimptoti, “nishati” ya jumla inayojumlishwa juu ya jozi zote. Sifuri inayojirudia mara d inachangia d² kwenye nishati hii. Sifuri jirani pia hutumia sehemu yake, kupitia miingiliano yao.

Kwa hiyo, ikiwa mtu anaweza kuthibitisha kwamba sifuri jirani lazima zitumie nishati nyingi, kinachobaki kwa sifuri zinazojirudia ni kidogo. Uthibitisho unafanya hivyo kwa hatua tatu:

1. Sifuri zinazodumisha umbali wa chini kati yake hushughulikiwa kwa usahihi, kutokana na kutolingana (inequality) kunakojulikana kama chujio kubwa (large sieve).
2. Kutolingana kuhusu sifuri saba zinazofuatana, kulikothibitishwa kwa msaada wa kompyuta, kunazawadia sifuri maradufu zaidi kuliko sifuri sahili. Masharti yake ya marekebisho hufutana yanapojumlishwa kando ya mstari.
3. Kitendakazi cha majaribio kilichobuniwa kwa uangalifu, “dirisha”, kinaifanya zawadi hii kuwa kubwa iwezekanavyo.

Makala inalinganisha tatizo hili na kutafuta hali ya nishati ya chini kabisa ya gesi ya mwelekeo mmoja yenye aina mbili za chembe, sifuri sahili na sifuri maradufu.

Kile kompyuta ilihakiki, na kile ambacho haikuhakiki

Kutolingana kwa nukta saba kulihitaji kuchunguza masanduku 60,467,309 ya uwezekano, bila kushindwa hata kumoja. Tokeo la mstari muhimu lilihitaji zaidi ya milioni 535. Nadharia zote kuu zimewekwa rasmi katika Lean 4, programu ya kukagua uthibitisho, kwa takriban mistari 13,300 na 10,000 juu ya maktaba iliyopo ya takriban mistari 102,000, zikiwa na kauli kuhusu sifuri za zeta kama zilivyofafanuliwa katika maktaba ya hisabati ya Lean.

Mwandishi anataja pengo moja waziwazi. Kila nadharia inategemea msingi (axiom) mmoja wa ziada unaorekodi kwamba programu ya msako ilirudisha “kweli”. Kiini (kernel) cha Lean hakirudii hesabu hiyo; kinaamini kikusanyaji (compiler) na mazingira ya utekelezaji ya Lean kwa ajili yake. Kaguzi tatu huru zinaunga mkono utekelezaji huo, ikiwemo hesabu zinazofanana kabisa kutoka programu tofauti za C++ na Python.

Njia inayokaribia mwisho wake

Makala pia inathibitisha mahali ambapo mbinu yake lazima isimame. Kwa dirisha lake kuu, haiwezi kamwe kufikia asilimia 84: dari ni 0.83998. Kwa dirisha lolote lenye utaratibu wa kuridhisha, dari ni 0.84093 — chini ya 0.002 juu ya tokeo jipya. Kwenda mbele zaidi kutahitaji wazo tofauti.

Mgongano wa maslahi. Mwandishi anaieleza kazi hii kama “jaribio la utafiti wa kihisabati unaosaidiwa na AI”. Mwandishi anasema kwamba hoja, hesabu, uwekaji rasmi katika Lean, michoro na sehemu kubwa ya maandishi viliendelezwa kwa msaada mkubwa wa OpenAI Codex na Anthropic Claude, chini ya uongozi wa mwandishi; Claude aliendeleza uwekaji rasmi, uchambuzi wa mipaka ya njia, dirisha na cheti cha nadharia ya mstari muhimu, michoro na sehemu kubwa ya maandishi, na mifumo yote miwili ilipitia rasimu “katika nafasi ya wakaguzi”. Hoja ya mwanzo inahusishwa na chapisho la awali lililotiwa sahihi na Claude. Claude pia aliandika makala hii.