БОЛЕЕ 83,9% НУЛЕЙ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РАЗЛИЧНЫ

У дзета-функции Римана бесконечно много «нетривиальных» нулей — точек комплексной плоскости, в которых она обращается в ноль. Два вопроса о них остаются открытыми. Все ли они лежат на критической прямой, где их действительная часть равна одной второй? Это гипотеза Римана. И все ли они простые — является ли каждый ноль одиночным, а не двумя или более нулями, наложенными в одной точке? Это гипотеза о простоте нулей. Согласно статье, никто не знает, следует ли одно из этих утверждений из другого.

До высоты 3 × 10¹² компьютеры проверили, что нули лежат на прямой и являются простыми. Дальше математики доказывают доли: по меньшей мере такая-то часть всех нулей обладает нужным свойством.

Гонка в десятичных знаках

Кристиан Мури Кнаусгор (Kristian Muri Knausgård) из Кристиансанна (Норвегия) подробно излагает недавнюю историю. Доказанная доля различных нулей выросла с 63,9% до 70%, а затем подскочила до 83,625% благодаря рассуждению, которое статья приписывает препринту за подписью Claude (Anthropic), проверенному математиками Альпёге и Фурманом (Alpöge, Furman) и заново доказанному Ламзури (Lamzouri). Затем последовали небольшие улучшения, включая предыдущую статью самого автора с результатом 83,6993%.

Во введении статьи перечислено более десятка объявленных значений для нулей, которые просты и лежат на критической прямой, — от 0,67300 до 0,673492; многие из них выложены в публичные репозитории кода с августа по октябрь 2026 года и не прошли рецензирования. Автор указывает, что эти значения для статьи не проверялись и что ни один из её результатов от них не зависит.

Новые оценки

Не предполагая ни гипотезы Римана, ни каких-либо других недоказанных утверждений, статья доказывает, что:

более 83,900% нулей различны (точная оценка — 1645064/1960733);
следовательно, более 67,80% нулей простые;
более 67,353% простые и лежат на критической прямой;
не менее 88,93% простые или лежат на прямой, так что нули, одновременно лежащие вне прямой и кратные, составляют не более 11,07%.

Кратные нули стоят энергии

Идею можно уложить в одну картинку. Перемасштабируйте нули так, чтобы в среднем они отстояли друг от друга на единицу, как бусины на нитке. Теорема Монтгомери о распределении пар нулей фиксирует, асимптотически, полную «энергию», просуммированную по всем парам. Ноль кратности d вносит в эту энергию d². Соседние нули тоже расходуют её часть — через свои перекрытия.

Значит, если удаётся доказать, что соседи неизбежно расходуют много энергии, на кратные нули её остаётся мало. Доказательство делает это в три шага:

Нули, сохраняющие между собой минимальное расстояние, обрабатываются точно благодаря неравенству, известному как большое решето.
Неравенство для семи последовательных нулей, доказанное с помощью компьютера, вознаграждает двойные нули сильнее, чем простые. Его поправочные члены взаимно сокращаются при суммировании вдоль прямой.
Тщательно сконструированная пробная функция — «окно» — делает это вознаграждение максимально большим.

Статья сравнивает задачу с поиском состояния с наименьшей энергией в одномерном газе из частиц двух видов — простых и двойных нулей.

Что проверил компьютер, а что нет

Неравенство для семи точек потребовало перебора 60 467 309 ячеек возможностей — без единого сбоя. Для результата о критической прямой понадобилось более 535 миллионов. Все основные теоремы формализованы в Lean 4, программе проверки доказательств, — примерно в 13 300 и 10 000 строках поверх уже существующей библиотеки примерно из 102 000 строк, с формулировками о нулях дзета-функции в том виде, в каком она определена в математической библиотеке Lean.

Автор прямо называет одну оговорку. Каждая теорема опирается на одну дополнительную аксиому, фиксирующую, что программа перебора вернула «истину». Ядро Lean не перезапускает это вычисление, а доверяет в нём компилятору и среде выполнения Lean. Запуск подкрепляют три независимые проверки, включая совпадающие подсчёты в отдельных программах на C++ и Python.

Метод на исходе

Статья также доказывает, где её подход должен остановиться. С основным окном он никогда не достигнет 84%: потолок — 0,83998. Для любого достаточно регулярного окна потолок — 0,84093, меньше чем на 0,002 выше нового результата. Чтобы пойти дальше, понадобится другая идея.

Конфликт интересов. Автор описывает эту работу как «эксперимент в области математических исследований с помощью ИИ». Автор указывает, что рассуждения, вычисления, формализация в Lean, рисунки и бо́льшая часть текста были разработаны при существенной помощи OpenAI Codex и Anthropic Claude под руководством автора; Claude разработал формализацию, анализ пределов метода, окно и сертификат для теоремы о критической прямой, рисунки и бо́льшую часть текста, а обе системы рецензировали черновики «в роли рецензентов». Исходное рассуждение приписывается препринту за подписью Claude. Claude написал и эту статью.