ゼータ関数の零点の83.9%以上は互いに異なる

リーマン・ゼータ関数には、無限に多くの「非自明な」零点がある。複素平面の中で、関数の値が0になる点だ。それらについて、二つの問いが未解決のまま残っている。すべての零点は、実部が2分の1に等しい臨界線の上にあるのか。これがリーマン予想だ。そして、すべての零点は単純なのか。つまり、どの零点も同じ点に二つ以上重なったものではなく、ただ一つの零点なのか。これが単純零点予想だ。論文によれば、どちらかの主張がもう一方を導くのかどうかさえ、誰にもわかっていない。

高さ3 × 10¹²までは、零点が臨界線上にあって単純であることを、計算機が確かめている。その先では、数学者は割合を証明する。すべての零点のうち、少なくともこれだけの割合がその性質をもつ、というかたちだ。

小数点以下で争う競争

ノルウェー・クリスチャンサンのKristian Muri Knausgårdは、最近の経緯を詳しく述べている。互いに異なる零点について証明された割合は、63.9%から70%へと伸び、さらに**83.625%**へと跳ね上がった。この論証を、論文はClaude（Anthropic）が署名したプレプリントによるものとしており、それを数学者のAlpögeとFurmanが検証し、Lamzouriが別の方法で証明し直した。その後は小さな改善が続き、著者自身の前の論文の83.6993%もその一つだ。

論文の序論には、単純でしかも臨界線上にある零点について発表された値が十数個以上並んでいる。0.67300から0.673492までで、その多くは2026年8月から10月にかけて公開のコードリポジトリに投稿されたもので、査読を受けていない。著者は、これらの値を論文のために検証してはおらず、論文の結果はどれもそれらに依存していないと述べている。

新しい下限

リーマン予想もほかの未証明の主張も仮定せずに、論文は次のことを証明している。

零点の**83.900%**以上が互いに異なる（正確な下限は1645064/1960733）。
したがって、**67.80%**以上が単純である。
**67.353%**以上が単純で、しかも臨界線上にある。
少なくとも**88.93%**が単純であるか臨界線上にある。したがって、臨界線から外れていて、しかも重なっている零点は、多くても11.07%だ。

重なった零点はエネルギーを食う

考え方は一枚の絵で表せる。零点の間隔が平均で1単位になるように尺度を変えると、糸に通したビーズのようになる。零点のペアがどう分布するかについてのMontgomeryの定理は、すべてのペアにわたって足し合わせた全体の「エネルギー」を、漸近的に決めてしまう。d回重なった零点は、このエネルギーにd²だけ寄与する。隣り合う零点も、その重なりを通じて、エネルギーの一部を使う。

だから、隣り合う零点が必ず多くのエネルギーを使うことを証明できれば、重なった零点に残る分はわずかになる。証明はこれを3段階で行う。

互いに最小限の距離を保つ零点は、ラージシーブ（large sieve）と呼ばれる不等式のおかげで、正確に扱える。
計算機の助けを借りて証明された、連続する7個の零点についての不等式が、単純な零点よりも二重の零点に大きな報酬を与える。その補正項は、臨界線に沿って足し合わせると打ち消し合う。
慎重に設計されたテスト関数、すなわち「窓」が、この報酬をできるだけ大きくする。

論文はこの問題を、単純な零点と二重の零点という2種類の粒子からなる1次元の気体の、最もエネルギーの低い状態を見つけることにたとえている。

計算機が確かめたこと、確かめなかったこと

7点の不等式には、60,467,309個の箱の可能性を調べる必要があり、失敗は一つもなかった。臨界線についての結果には、5億3500万個以上が必要だった。主な定理はすべて、証明検証ソフトウェアであるLean 4で形式化されている。約102,000行の既存ライブラリの上に、約13,300行と10,000行が加えられ、ゼータの零点についての主張は、Leanの数学ライブラリで定義されたとおりのものになっている。

著者は一つの穴を率直に述べている。各定理は、ある探索プログラムが「真」を返したことを記録する追加の公理一つに依拠している。Leanのカーネルはその計算を再実行しない。その部分は、Leanのコンパイラと実行環境を信頼している。この実行は三つの独立した検査で裏づけられており、その中には、別々のC++とPythonのプログラムが同じ件数を出したことも含まれる。

終わりに近づいた方法

論文は、この手法がどこで止まらざるをえないかも証明している。主な窓を使うかぎり、決して84%には届かない。天井は0.83998だ。ある程度なめらかな窓であればどれでも、天井は0.84093で、新しい結果より0.002足らず上にすぎない。さらに先へ進むには、別のアイデアが必要になる。

利益相反。 著者はこの研究を「AIの支援を受けた数学研究の実験」と表現している。著者によれば、論証、計算、Leanによる形式化、図、そして本文の多くは、著者の指示のもと、OpenAI CodexとAnthropic Claudeの大きな助けを得て練り上げられた。Claudeは、形式化、手法の限界の分析、臨界線の定理の窓と証明書、図、そして本文の多くを手がけ、両システムは草稿を「査読者の役割で」読んだ。出発点となった論証は、Claudeが署名したプレプリントによるものとされている。この記事もClaudeが書いた。