झीटा फलाची 83.9% पेक्षा जास्त शून्ये भिन्न आहेत

रीमान झीटा फलाला (Riemann zeta function) अनंत “अक्षुल्लक” (non-trivial) शून्ये आहेत, म्हणजे संमिश्र प्रतलातील असे बिंदू जिथे त्याचे मूल्य शून्य होते. त्यांच्याविषयी दोन प्रश्न अजूनही अनुत्तरित आहेत. ती सर्व क्रांतिक रेषेवर (critical line) आहेत का, जिथे त्यांचा वास्तव भाग एक-द्वितीयांश असतो? हीच रीमान परिकल्पना. आणि ती सर्व साधी आहेत का — म्हणजे प्रत्येक शून्य एकाच बिंदूवर रचलेली दोन किंवा अधिक शून्ये नसून एकच शून्य आहे का? हीच साध्या शून्यांची अटकळ. शोधनिबंधानुसार, यांपैकी एक विधान दुसऱ्याला सूचित करते की नाही हेही कोणाला माहीत नाही.

3 × 10¹² उंचीपर्यंत संगणकांनी तपासले आहे की शून्ये रेषेवर आहेत आणि साधी आहेत. त्यापलीकडे, गणितज्ञ प्रमाणे सिद्ध करतात: सर्व शून्यांपैकी किमान इतक्या वाट्याला तो गुणधर्म आहे.

दशांश स्थानांत मोजली जाणारी शर्यत

नॉर्वेमधील क्रिस्टियानसँड येथील Kristian Muri Knausgård अलीकडचा इतिहास तपशिलाने मांडतात. भिन्न शून्यांचे सिद्ध झालेले प्रमाण 63.9% वरून 70% वर गेले, आणि मग एका युक्तिवादामुळे 83.625% वर उडी घेतली; शोधनिबंध हा युक्तिवाद Claude (Anthropic) ने स्वाक्षरी केलेल्या एका प्रीप्रिंटचा मानतो, जो गणितज्ञ Alpöge आणि Furman यांनी पडताळला आणि Lamzouri यांनी पुन्हा सिद्ध केला. त्यानंतर लहान सुधारणा झाल्या, ज्यांत लेखकाचा स्वतःचा 83.6993% वरचा आधीचा शोधनिबंधही येतो.

शोधनिबंधाच्या प्रस्तावनेत, साध्या आणि क्रांतिक रेषेवरील शून्यांसाठी जाहीर झालेल्या डझनाहून अधिक मूल्यांची यादी आहे, 0.67300 पासून 0.673492 पर्यंत; त्यांतील अनेक ऑगस्ट ते ऑक्टोबर 2026 दरम्यान सार्वजनिक कोड भांडारांमध्ये टाकली गेली असून त्यांचे समीक्षण झालेले नाही. लेखक सांगतात की ही मूल्ये शोधनिबंधासाठी पडताळलेली नाहीत आणि त्यांचा कोणताही निकाल त्यांवर अवलंबून नाही.

नव्या मर्यादा

रीमान परिकल्पना किंवा इतर कोणतेही असिद्ध विधान गृहीत न धरता, शोधनिबंध सिद्ध करतो की:

• 83.900% पेक्षा जास्त शून्ये भिन्न आहेत (नेमकी मर्यादा 1645064/1960733 आहे);
• परिणामी, 67.80% पेक्षा जास्त साधी आहेत;
• 67.353% पेक्षा जास्त साधी आणि क्रांतिक रेषेवर आहेत;
• किमान 88.93% साधी आहेत किंवा रेषेवर आहेत, म्हणून रेषेबाहेर असलेली आणि पुनरावृत्तही झालेली शून्ये जास्तीत जास्त 11.07% आहेत.

पुनरावृत्त शून्यांना ऊर्जा लागते

ही कल्पना एका चित्रात मावते. शून्यांचे प्रमाण असे बदला की ती सरासरी एक एकक अंतराने असतील, धाग्यावरच्या मण्यांसारखी. शून्यांच्या जोड्या कशा वितरित होतात यावरील Montgomery यांचे एक प्रमेय, सर्व जोड्यांवर बेरीज केलेली एकूण “ऊर्जा” अनंतस्पर्शी अर्थाने (asymptotically) निश्चित करते. d वेळा पुनरावृत्त झालेले शून्य या ऊर्जेत d² चे योगदान देते. शेजारची शून्येही त्यांच्या परस्परव्यापनातून या ऊर्जेचा काही भाग वापरतात.

म्हणून जर हे सिद्ध करता आले की शेजारची शून्ये अपरिहार्यपणे खूप ऊर्जा वापरतात, तर पुनरावृत्त शून्यांसाठी थोडीच उरते. सिद्धता हे तीन टप्प्यांत करते:

1. एकमेकांपासून किमान अंतर राखणारी शून्ये, लार्ज सीव्ह (large sieve) म्हणून ओळखल्या जाणाऱ्या असमतेमुळे, अचूकपणे हाताळली जातात.
2. सलग सात शून्यांवरील एक असमता, संगणकाच्या मदतीने सिद्ध केलेली, साध्या शून्यांपेक्षा दुहेरी शून्यांना अधिक बक्षीस देते. रेषेवरून बेरीज केल्यावर तिची दुरुस्ती पदे एकमेकांना रद्द करतात.
3. काळजीपूर्वक रचलेले एक चाचणी फल, “खिडकी”, हे बक्षीस शक्य तितके मोठे करते.

शोधनिबंध या प्रश्नाची तुलना साधी आणि दुहेरी शून्ये असे दोन प्रकारचे कण असलेल्या एकमितीय वायूची किमान-ऊर्जा अवस्था शोधण्याशी करतो.

संगणकाने काय तपासले, आणि काय नाही

सात-बिंदू असमतेसाठी शक्यतांच्या 60,467,309 खोक्यांची तपासणी करावी लागली, आणि एकही अपयश आले नाही. क्रांतिक-रेषेच्या निकालासाठी 53.5 कोटींहून अधिक खोकी लागली. सर्व मुख्य प्रमेये Lean 4 या सिद्धता-तपासणी सॉफ्टवेअरमध्ये औपचारिक केली आहेत, सुमारे 102,000 ओळींच्या विद्यमान ग्रंथालयावर सुमारे 13,300 आणि 10,000 ओळींमध्ये, आणि झीटाच्या शून्यांविषयीची विधाने Lean च्या गणितीय ग्रंथालयातील व्याख्येनुसार आहेत.

लेखक एक उणीव स्पष्टपणे सांगतात. प्रत्येक प्रमेय एका अतिरिक्त गृहीतकावर (axiom) आधारित आहे, जे नोंदवते की एका शोध प्रोग्रामने “सत्य” परत दिले. Lean चा गाभा (kernel) ती गणना पुन्हा चालवत नाही; त्यासाठी तो Lean च्या कंपायलर आणि रनटाइमवर विश्वास ठेवतो. तीन स्वतंत्र तपासण्या या धावेला आधार देतात, ज्यांत स्वतंत्र C++ आणि Python प्रोग्राममधून आलेल्या एकसारख्या मोजण्यांचा समावेश आहे.

शेवटाजवळ आलेली पद्धत

हा शोधनिबंध आपला दृष्टिकोन कुठे थांबलाच पाहिजे हेही सिद्ध करतो. त्याच्या मुख्य खिडकीसह तो कधीच 84% गाठू शकत नाही: कमाल मर्यादा 0.83998 आहे. कोणत्याही बऱ्यापैकी नियमित खिडकीसाठी कमाल मर्यादा 0.84093 आहे — नव्या निकालापेक्षा 0.002 पेक्षाही कमी जास्त. यापुढे जाण्यासाठी वेगळी कल्पना लागेल.

हितसंबंधांचा संघर्ष. लेखक या कार्याचे वर्णन “AI-सहाय्यित गणितीय संशोधनातील एक प्रयोग” असे करतात. लेखक सांगतात की युक्तिवाद, गणना, Lean मधील औपचारिकीकरण, आकृत्या आणि मजकुराचा मोठा भाग लेखकाच्या मार्गदर्शनाखाली OpenAI Codex आणि Anthropic Claude यांच्या भरीव मदतीने विकसित केला गेला; Claude ने औपचारिकीकरण, पद्धतीच्या मर्यादांचे विश्लेषण, क्रांतिक-रेषा प्रमेयाची खिडकी आणि प्रमाणपत्र, आकृत्या आणि मजकुराचा मोठा भाग विकसित केला, आणि दोन्ही प्रणालींनी मसुद्यांचे “समीक्षकांच्या भूमिकेत” पुनरावलोकन केले. सुरुवातीचा युक्तिवाद Claude ने स्वाक्षरी केलेल्या एका प्रीप्रिंटचा मानला जातो. हा लेखही Claude नेच लिहिला आहे.