PLUS DE 83,9 % DES ZÉROS DE ZÊTA SONT DISTINCTS

La fonction zêta de Riemann possède une infinité de zéros « non triviaux », des points du plan complexe où elle s’annule. Deux questions à leur sujet restent ouvertes. Sont-ils tous sur la droite critique, là où leur partie réelle vaut un demi ? C’est l’hypothèse de Riemann. Et sont-ils tous simples — chaque zéro est-il un zéro unique, et non deux ou plus empilés au même point ? C’est la conjecture des zéros simples. Selon l’article, personne ne sait si l’un de ces énoncés implique l’autre.

Jusqu’à une hauteur de 3 × 10¹², des ordinateurs ont vérifié que les zéros sont sur la droite et simples. Au-delà, les mathématiciens prouvent des proportions : au moins telle part de tous les zéros possède la propriété.

Une course qui se mesure en décimales

Kristian Muri Knausgård, à Kristiansand en Norvège, retrace en détail l’histoire récente. Les proportions prouvées de zéros distincts sont passées de 63,9 % à 70 %, puis ont bondi à 83,625 % grâce à un argument que l’article attribue à un preprint signé par Claude (Anthropic), vérifié par les mathématiciens Alpöge et Furman, et redémontré par Lamzouri. De petits gains ont suivi, dont le précédent article de l’auteur, à 83,6993 %.

L’introduction recense plus d’une douzaine de valeurs annoncées pour les zéros simples sur la droite critique, de 0,67300 à 0,673492, souvent publiées dans des dépôts de code publics entre août et octobre 2026, sans relecture. L’auteur précise ne pas les avoir vérifiées, et qu’aucun résultat de l’article n’en dépend.

Les nouvelles bornes

Sans supposer l’hypothèse de Riemann ni aucun autre énoncé non démontré, l’article prouve que :

• plus de 83,900 % des zéros sont distincts (la borne exacte vaut 1645064/1960733) ;
• par conséquent, plus de 67,80 % sont simples ;
• plus de 67,353 % sont simples et sur la droite critique ;
• au moins 88,93 % sont simples ou sur la droite : les zéros à la fois hors de la droite et répétés représentent donc au plus 11,07 %.

Les zéros répétés coûtent de l’énergie

L’idée tient en une image. On remet les zéros à l’échelle pour qu’ils soient espacés d’une unité en moyenne, comme des perles sur un fil. Un théorème de Montgomery sur la répartition des paires de zéros fixe, asymptotiquement, une « énergie » totale sommée sur toutes les paires. Un zéro répété d fois contribue d² à cette énergie. Les zéros voisins en consomment aussi, par leurs recouvrements.

Si l’on prouve que les voisins consomment forcément beaucoup d’énergie, il en reste peu pour des zéros répétés. La preuve procède en trois temps :

1. Les zéros qui gardent une distance minimale entre eux sont traités exactement, grâce à une inégalité dite du grand crible.
2. Une inégalité sur sept zéros consécutifs, prouvée avec l’aide de l’ordinateur, récompense davantage les zéros doubles que les simples. Ses termes correctifs s’annulent quand on les additionne le long de la droite.
3. Une fonction test soigneusement choisie, la « fenêtre », rend cette récompense aussi grande que possible.

L’article compare le problème à la recherche de l’état d’énergie minimale d’un gaz à une dimension contenant deux sortes de particules, les zéros simples et les zéros doubles.

Ce que l’ordinateur a vérifié, et ce qu’il n’a pas vérifié

L’inégalité à sept points a demandé d’examiner 60 467 309 boîtes de possibilités, sans aucun échec. Le résultat sur la droite critique en a demandé plus de 535 millions. Tous les théorèmes principaux sont formalisés dans Lean 4, un logiciel de vérification de preuves, en environ 13 300 et 10 000 lignes, sur une bibliothèque existante d’environ 102 000 lignes, avec des énoncés portant sur les zéros de zêta telle que définie dans la bibliothèque mathématique de Lean.

L’auteur signale une réserve sans détour. Chaque théorème repose sur un axiome supplémentaire qui enregistre qu’un programme de recherche a renvoyé « vrai ». Le noyau de Lean ne refait pas ce calcul ; il fait confiance pour cela au compilateur et à l’environnement d’exécution de Lean. Trois contrôles indépendants appuient ce calcul, dont des décomptes identiques obtenus par des programmes séparés en C++ et en Python.

Une méthode en bout de course

L’article prouve aussi où son approche doit s’arrêter. Avec sa fenêtre principale, elle n’atteindra jamais 84 % : le plafond est de 0,83998. Pour toute fenêtre raisonnablement régulière, le plafond est de 0,84093 — moins de 0,002 au-dessus du nouveau résultat. Aller plus loin demandera une autre idée.

Conflit d’intérêts. L’auteur présente ce travail comme « une expérience de recherche mathématique assistée par IA ». Il est indiqué que les arguments, les calculs, la formalisation Lean, les figures et une grande partie du texte ont été développés avec une aide substantielle d’OpenAI Codex et d’Anthropic Claude, sous la direction de l’auteur ; Claude a développé la formalisation, l’analyse des limites de la méthode, la fenêtre et le certificat du théorème sur la droite critique, les figures et une grande partie du texte, et les deux systèmes ont relu les brouillons « dans le rôle d’arbitres ». L’argument de départ est attribué à un preprint signé par Claude. Claude a aussi écrit le présent article.