زیٹا دے 83.9% توں ودھ صفر وکھرے نیں

ریمان زیٹا فنکشن دے بے انت “غیر معمولی” (non-trivial) صفر نیں، یعنی مخلوط سطح (complex plane) دے اوہ نقطے جتھے ایہ صفر ہو جاندا اے۔ اوہناں بارے دو سوال اجے کھلے نیں۔ کیہ اوہ سارے تنقیدی لکیر اُتے نیں، جتھے اوہناں دا اصلی حصہ ادھا ہوندا اے؟ ایہ ریمان مفروضہ (Riemann hypothesis) اے۔ تے کیہ اوہ سارے سادے نیں — کیہ ہر صفر اک اکلا صفر اے نہ کہ اکو نقطے اُتے دو یا ودھ صفر اک دوجے اُتے چڑھے ہوئے؟ ایہ سادے صفراں دا قیاس (simple zeros conjecture) اے۔ مقالے دے مطابق، کسے نوں نہیں پتہ پئی ایہناں دوہاں وچوں کوئی بیان دوجے نوں لازمی بناؤندا اے یا نہیں۔

3 × 10¹² دی اُچائی تیک، کمپیوٹراں نے جانچیا اے پئی صفر لکیر اُتے نیں تے سادے نیں۔ ایہدے توں اگے، ریاضی دان تناسب ثابت کردے نیں: سارے صفراں دا گھٹو گھٹ اینا حصہ ایہ خاصیت رکھدا اے۔

اعشاریاں وچ ناپی جان والی دوڑ

ناروے دے شہر کرسٹیان ساند دے کرسٹیان موری کناؤسگورد تازہ تاریخ تفصیل نال دسدے نیں۔ وکھرے صفراں دے ثابت کیتے گئے حصے 63.9% توں 70% تیک گئے، فیر اک دلیل نال 83.625% تیک چھال ماری جیہنوں مقالہ Claude (Anthropic) دے دستخط والے اک پری پرنٹ نال جوڑدا اے، جیہدی تصدیق ریاضی دان الپوگے تے فرمن نے کیتی، تے لامزوری نے اوہنوں دوبارہ ثابت کیتا۔ ایہدے بعد نکے نکے فائدے ہوئے، لکھاری دے اپنے پچھلے مقالے سمیت جیہڑا 83.6993% اُتے سی۔

مقالے دا تعارف سادے تے تنقیدی لکیر اُتے والے صفراں لئی اک درجن توں ودھ اعلان کیتیاں قدراں گندا اے، 0.67300 توں 0.673492 تیک، جنہاں وچوں کئی اگست تے اکتوبر 2026 دے وچکار عوامی کوڈ ریپوزیٹریاں وچ پائیاں گئیاں تے جنہاں دا جائزہ نہیں ہویا۔ لکھاری دسدا اے پئی ایہناں قدراں دی ایس مقالے لئی تصدیق نہیں کیتی گئی تے ایہدا کوئی نتیجہ اوہناں اُتے ٹکیا نہیں۔

نویاں حداں

ریمان مفروضے یا کسے ہور غیر ثابت شدہ بیان نوں منے بنا، مقالہ ثابت کردا اے پئی:

83.900% توں ودھ صفر وکھرے نیں (ٹھیک حد 1645064/1960733 اے)؛
نتیجے وجوں، 67.80% توں ودھ سادے نیں؛
67.353% توں ودھ سادے وی نیں تے تنقیدی لکیر اُتے وی؛
گھٹو گھٹ 88.93% سادے نیں یا لکیر اُتے نیں، ایس لئی اوہ صفر جیہڑے لکیر توں باہر وی نیں تے دہرائے ہوئے وی، ودھ توں ودھ 11.07% نیں۔

دہرائے صفراں دی قیمت توانائی اے

خیال اک تصویر وچ سما جاندا اے۔ صفراں دا پیمانہ انج بدلو پئی اوسطاً اوہناں وچکار اک اکائی دی وتھ ہووے، جویں دھاگے اُتے منکے۔ صفراں دے جوڑیاں دی ونڈ بارے مونٹگمری دا اک مسئلہ (theorem)، لامتناہی حد وچ، سارے جوڑیاں اُتے جوڑی گئی اک کُل “توانائی” پکی کر دیندا اے۔ d واری دہرایا گیا صفر ایس توانائی وچ d² پاؤندا اے۔ گوانڈھی صفر وی، اپنے اک دوجے اُتے چڑھن راہیں، ایہدا کجھ حصہ ورتدے نیں۔

ایس لئی جے کوئی ثابت کر سکے پئی گوانڈھی لازمی طور اُتے بہت ساری توانائی ورتدے نیں، تاں دہرائے صفراں لئی تھوڑی بچدی اے۔ ثبوت ایہ تن قدماں وچ کردا اے:

اوہ صفر جیہڑے اک دوجے توں گھٹو گھٹ اک وتھ رکھدے نیں، large sieve ناں دی اک نابرابری دی بدولت ٹھیک ٹھیک سنبھالے جاندے نیں۔
ست لگاتار صفراں اُتے اک نابرابری، جیہڑی کمپیوٹر دی مدد نال ثابت کیتی گئی، دُگنے صفراں نوں سادیاں نالوں ودھ انعام دیندی اے۔ ایہدیاں درستی والیاں رقماں لکیر دے نال جوڑن اُتے اک دوجی نوں مُکا دیندیاں نیں۔
دھیان نال بنایا گیا اک ٹیسٹ فنکشن، “کھڑکی” (window)، ایس انعام نوں جنا ہو سکے وڈا کردا اے۔

مقالہ ایس مسئلے نوں دو قسماں دے ذریاں، سادے تے دُگنے صفراں، والی اک پاسی گیس دی سب توں گھٹ توانائی والی حالت لبھن نال ملاؤندا اے۔

کمپیوٹر نے کیہ جانچیا، تے کیہ نہیں

ست نقطیاں والی نابرابری لئی امکاناں دے 60,467,309 ڈبیاں دی جانچ کرنی پئی، بنا کسے ناکامی دے۔ تنقیدی لکیر والے نتیجے لئی 535 ملین توں ودھ لوڑیاں۔ سارے وڈے مسئلے Lean 4 وچ، جیہڑا ثبوت جانچن والا سافٹ ویئر اے، لگ بھگ 13,300 تے 10,000 لائناں وچ رسمی بنائے گئے نیں، لگ بھگ 102,000 لائناں دی اک موجودہ لائبریری دے اُتے، تے زیٹا دے صفراں بارے بیان Lean دی ریاضیاتی لائبریری وچ دتی گئی تعریف موجب نیں۔

لکھاری اک خلا صاف دسدا اے۔ ہر مسئلہ اک وادھو بدیہی اصول (axiom) اُتے ٹکیا اے جیہڑا درج کردا اے پئی اک کھوج پروگرام نے “سچ” (true) موڑیا۔ Lean دا مرکز (kernel) اوہ حساب دوبارہ نہیں چلاؤندا؛ اوہ ایہدے لئی Lean دے کمپائلر تے رن ٹائم اُتے بھروسہ کردا اے۔ تن آزاد جانچاں ایس دوڑ دی حمایت کردیاں نیں، جنہاں وچ وکھرے C++ تے Python پروگراماں توں اکو جیہیاں گنتیاں شامل نیں۔

اپنے انت دے نیڑے اک طریقہ

مقالہ ایہ وی ثابت کردا اے پئی ایہدے طریقے نوں کتھے رُکنا پوے گا۔ اپنی وڈی کھڑکی نال، ایہ کدی 84% تیک نہیں اپڑ سکدا: چھت 0.83998 اے۔ کسے وی مناسب حد تیک باقاعدہ کھڑکی لئی، چھت 0.84093 اے — نویں نتیجے توں 0.002 توں گھٹ اُتے۔ اگے ودھن لئی اک وکھرے خیال دی لوڑ ہووے گی۔

مفاد دا ٹکراؤ۔ لکھاری ایس کم نوں “اے آئی دی مدد نال ریاضیاتی تحقیق دا اک تجربہ” آکھدا اے۔ لکھاری دسدا اے پئی دلیلاں، حساب، Lean وچ رسمی بنانا، تصویراں تے لکھت دا بہتا حصہ OpenAI Codex تے Anthropic Claude دی وڈی مدد نال، لکھاری دی ہدایت ہیٹھ، بنائے گئے؛ Claude نے رسمی بنانا، طریقے دیاں حداں دا تجزیہ، تنقیدی لکیر والے مسئلے دی کھڑکی تے سرٹیفکیٹ، تصویراں تے لکھت دا بہتا حصہ بنایا، تے دوہاں سسٹماں نے مسودیاں دا “جائزہ کاراں دے کردار وچ” جائزہ لیا۔ شروعاتی دلیل Claude دے دستخط والے اک پری پرنٹ نال جوڑی گئی اے۔ ایہ لکھت وی Claude نے لکھی اے۔