జీటా ప్రమేయపు శూన్యాల్లో 83.9% కంటే ఎక్కువ వేర్వేరు

రీమాన్ జీటా ప్రమేయానికి (Riemann zeta function) అనంతమైన “అల్పం కాని” (non-trivial) శూన్యాలు ఉన్నాయి, అంటే సంకీర్ణ తలంలో దాని విలువ సున్నా అయ్యే బిందువులు. వాటి గురించి రెండు ప్రశ్నలు ఇంకా పరిష్కారం కాలేదు. అవన్నీ క్రాంతిక రేఖ (critical line) మీద, అంటే వాటి వాస్తవ భాగం సగానికి సమానమయ్యే చోట, ఉన్నాయా? అదే రీమాన్ పరికల్పన. మరి అవన్నీ సరళమైనవా — అంటే ప్రతి శూన్యం ఒకే బిందువు వద్ద పేర్చిన రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ శూన్యాలు కాకుండా, ఒకే ఒక శూన్యమా? అదే సరళ శూన్యాల ఊహ. పత్రం ప్రకారం, ఈ రెండు ప్రకటనల్లో ఒకటి మరొకదాన్ని సూచిస్తుందో లేదో కూడా ఎవరికీ తెలియదు.

3 × 10¹² ఎత్తు వరకు, శూన్యాలు రేఖ మీద ఉన్నాయని, సరళమైనవని కంప్యూటర్లు తనిఖీ చేశాయి. ఆపై, గణిత శాస్త్రవేత్తలు నిష్పత్తులను నిరూపిస్తారు: అన్ని శూన్యాల్లో కనీసం ఇంత వాటాకు ఆ లక్షణం ఉంటుంది.

దశాంశాల్లో కొలిచే పోటీ

నార్వేలోని క్రిస్టియన్‌సాండ్‌కు చెందిన Kristian Muri Knausgård ఇటీవలి చరిత్రను వివరంగా చెబుతారు. వేర్వేరు శూన్యాల నిరూపిత వాటాలు 63.9% నుంచి 70% కు, ఆ తర్వాత ఒక వాదనతో 83.625% కు ఎగిశాయి; ఆ వాదనను పత్రం Claude (Anthropic) సంతకం చేసిన ఒక ప్రీప్రింట్‌కు ఆపాదిస్తుంది, దాన్ని గణిత శాస్త్రవేత్తలు Alpöge, Furman ధ్రువీకరించారు, Lamzouri మళ్లీ నిరూపించారు. ఆ తర్వాత చిన్న పెరుగుదలలు వచ్చాయి, వాటిలో 83.6993% తో రచయిత సొంత మునుపటి పత్రం కూడా ఉంది.

పత్రం పరిచయంలో, సరళమైనవీ క్రాంతిక రేఖ మీద ఉన్నవీ అయిన శూన్యాల కోసం ప్రకటించిన డజనుకు పైగా విలువల జాబితా ఉంది, 0.67300 నుంచి 0.673492 వరకు; వాటిలో చాలా 2026 ఆగస్టు నుంచి అక్టోబర్ మధ్య బహిరంగ కోడ్ రిపాజిటరీల్లో పోస్ట్ చేసినవి, సమీక్షకుల పరిశీలనకు లోనుకానివి. ఈ విలువలను పత్రం కోసం ధ్రువీకరించలేదని, తన ఫలితాలేవీ వాటిపై ఆధారపడవని రచయిత పేర్కొంటారు.

కొత్త హద్దులు

రీమాన్ పరికల్పననూ, నిరూపించని మరే ఇతర ప్రకటననూ ఊహించకుండానే, పత్రం ఇవి నిరూపిస్తుంది:

• 83.900% కంటే ఎక్కువ శూన్యాలు వేర్వేరు (ఖచ్చితమైన హద్దు 1645064/1960733);
• తత్ఫలితంగా, 67.80% కంటే ఎక్కువ సరళమైనవి;
• 67.353% కంటే ఎక్కువ సరళమైనవి మరియు క్రాంతిక రేఖ మీద ఉన్నవి;
• కనీసం 88.93% సరళమైనవి లేదా రేఖ మీద ఉన్నవి, కాబట్టి రేఖ బయట ఉండి, పునరావృతమయ్యే శూన్యాలు గరిష్ఠంగా 11.07% మాత్రమే.

పునరావృత శూన్యాలకు శక్తి ఖర్చవుతుంది

ఈ ఆలోచన ఒక్క చిత్రంలో ఇమిడిపోతుంది. సగటున ఒక యూనిట్ దూరంలో ఉండేలా శూన్యాల కొలమానాన్ని మార్చండి, దారంపై పూసల్లాగా. శూన్యాల జంటలు ఎలా పంపిణీ అవుతాయనే దానిపై Montgomery సిద్ధాంతం, అన్ని జంటలపై కూడిన మొత్తం “శక్తి”ని అనంతస్పర్శీయంగా (asymptotically) నిర్ణయిస్తుంది. d సార్లు పునరావృతమైన శూన్యం ఈ శక్తికి d² ను అందిస్తుంది. పొరుగు శూన్యాలు కూడా తమ అతివ్యాప్తుల ద్వారా అందులో కొంత వాడుకుంటాయి.

కాబట్టి పొరుగు శూన్యాలు తప్పనిసరిగా చాలా శక్తిని వాడుకుంటాయని నిరూపించగలిగితే, పునరావృత శూన్యాలకు మిగిలేది కొంచెమే. నిరూపణ దీన్ని మూడు దశల్లో చేస్తుంది:

1. ఒకదానికొకటి కనీస దూరం పాటించే శూన్యాలను, లార్జ్ సీవ్ (large sieve) అనే అసమానత సహాయంతో, ఖచ్చితంగా నిర్వహిస్తారు.
2. కంప్యూటర్ సహాయంతో నిరూపించిన, వరుసగా ఉన్న ఏడు శూన్యాలపై ఒక అసమానత, సరళ శూన్యాల కంటే ద్వి శూన్యాలకు ఎక్కువ బహుమతి ఇస్తుంది. రేఖ వెంట కూడినప్పుడు దాని సవరణ పదాలు ఒకదాన్నొకటి రద్దు చేసుకుంటాయి.
3. జాగ్రత్తగా రూపొందించిన ఒక పరీక్షా ప్రమేయం, “కిటికీ”, ఈ బహుమతిని వీలైనంత పెద్దదిగా చేస్తుంది.

పత్రం ఈ సమస్యను, సరళ శూన్యాలు, ద్వి శూన్యాలు అనే రెండు రకాల కణాలు ఉన్న ఏకమితీయ వాయువు యొక్క అత్యల్ప శక్తి స్థితిని కనుగొనడంతో పోలుస్తుంది.

కంప్యూటర్ ఏం తనిఖీ చేసింది, ఏం చేయలేదు

ఏడు-బిందువుల అసమానతకు అవకాశాలతో కూడిన 60,467,309 పెట్టెలను పరిశీలించాల్సి వచ్చింది, ఒక్కదానిలోనూ విఫలం కాలేదు. క్రాంతిక రేఖ ఫలితానికి 53.5 కోట్లకు పైగా అవసరమయ్యాయి. ప్రధాన సిద్ధాంతాలన్నీ నిరూపణలను తనిఖీ చేసే సాఫ్ట్‌వేర్ అయిన Lean 4 లో లాంఛనీకరించారు, సుమారు 102,000 పంక్తుల ప్రస్తుత లైబ్రరీపై సుమారు 13,300, 10,000 పంక్తుల్లో; జీటా శూన్యాల గురించిన ప్రకటనలు Lean గణిత లైబ్రరీలో నిర్వచించిన విధంగానే ఉన్నాయి.

రచయిత ఒక లోపాన్ని సూటిగా పేర్కొంటారు. ప్రతి సిద్ధాంతం, ఒక శోధన ప్రోగ్రామ్ “సత్యం” అని తిరిగి ఇచ్చిందని నమోదు చేసే ఒక అదనపు స్వీకృతం (axiom) మీద ఆధారపడుతుంది. Lean కెర్నల్ ఆ గణనను మళ్లీ నడపదు; దాని కోసం అది Lean కంపైలర్‌నూ రన్‌టైమ్‌నూ నమ్ముతుంది. మూడు స్వతంత్ర తనిఖీలు ఆ రన్‌కు మద్దతునిస్తాయి, వాటిలో వేర్వేరు C++, Python ప్రోగ్రామ్‌ల నుంచి వచ్చిన ఒకేలాంటి లెక్కలు కూడా ఉన్నాయి.

ముగింపుకు చేరువైన పద్ధతి

తన విధానం ఎక్కడ ఆగిపోక తప్పదో కూడా పత్రం నిరూపిస్తుంది. దాని ప్రధాన కిటికీతో, అది ఎప్పటికీ 84% ను చేరలేదు: పైకప్పు 0.83998. తగినంత క్రమబద్ధమైన ఏ కిటికీకైనా, పైకప్పు 0.84093 — కొత్త ఫలితం కంటే 0.002 కంటే తక్కువ ఎక్కువ. ఇంకా ముందుకు వెళ్లాలంటే వేరే ఆలోచన కావాలి.

ప్రయోజనాల వైరుధ్యం. రచయిత ఈ పనిని “AI సహాయంతో గణిత పరిశోధనలో ఒక ప్రయోగం”గా వర్ణిస్తారు. వాదనలు, గణనలు, Lean లాంఛనీకరణ, చిత్రాలు, పాఠంలో చాలా భాగం రచయిత మార్గదర్శకత్వంలో OpenAI Codex, Anthropic Claude ల గణనీయమైన సహాయంతో రూపొందాయని రచయిత పేర్కొంటారు; Claude లాంఛనీకరణను, పద్ధతి పరిమితుల విశ్లేషణను, క్రాంతిక రేఖ సిద్ధాంతపు కిటికీని, ధ్రువపత్రాన్ని, చిత్రాలను, పాఠంలో చాలా భాగాన్ని రూపొందించింది, రెండు వ్యవస్థలూ ముసాయిదాలను “సమీక్షకుల పాత్రలో” పరిశీలించాయి. ప్రారంభ వాదనను Claude సంతకం చేసిన ఒక ప్రీప్రింట్‌కు ఆపాదించారు. ఈ వ్యాసాన్ని కూడా Claude రాసింది.