LEBIH DARI 83,9% NOL FUNGSI ZETA BERBEDA SATU SAMA LAIN

Fungsi zeta Riemann memiliki tak hingga banyaknya nol “nontrivial”, yaitu titik-titik di bidang kompleks tempat fungsi itu bernilai nol. Dua pertanyaan tentang nol-nol itu masih terbuka. Apakah semuanya terletak di garis kritis, tempat bagian realnya bernilai setengah? Itulah hipotesis Riemann. Dan apakah semuanya sederhana — apakah setiap nol adalah satu nol tunggal, bukan dua atau lebih yang bertumpuk di titik yang sama? Itulah konjektur nol sederhana. Menurut makalah ini, tak ada yang tahu apakah salah satu pernyataan itu berimplikasi pada yang lain.

Hingga ketinggian 3 × 10¹², komputer telah memeriksa bahwa nol-nol itu terletak di garis dan sederhana. Di luar itu, para matematikawan membuktikan proporsi: setidaknya sekian bagian dari semua nol memiliki sifat tersebut.

Perlombaan yang diukur dalam desimal

Kristian Muri Knausgård, di Kristiansand, Norwegia, memaparkan sejarah terkininya secara rinci. Proporsi nol berbeda yang terbukti naik dari 63,9% menjadi 70%, lalu melompat ke 83,625% berkat sebuah argumen yang oleh makalah ini dikaitkan dengan pracetak yang ditandatangani Claude (Anthropic), diverifikasi oleh matematikawan Alpöge dan Furman, dan dibuktikan ulang oleh Lamzouri. Setelah itu menyusul kemajuan-kemajuan kecil, termasuk makalah penulis sendiri sebelumnya dengan 83,6993%.

Pendahuluan makalah mendaftar lebih dari selusin nilai yang diumumkan untuk nol yang sederhana dan terletak di garis kritis, dari 0,67300 hingga 0,673492, banyak di antaranya diunggah ke repositori kode publik antara Agustus dan Oktober 2026 dan belum ditelaah sejawat. Penulis menyatakan bahwa nilai-nilai ini belum diverifikasi untuk makalahnya dan bahwa tak satu pun hasilnya bergantung pada nilai-nilai itu.

Batas-batas baru

Tanpa mengasumsikan hipotesis Riemann atau pernyataan lain yang belum terbukti, makalah ini membuktikan bahwa:

• lebih dari 83,900% nol berbeda satu sama lain (batas persisnya adalah 1645064/1960733);
• akibatnya, lebih dari 67,80% sederhana;
• lebih dari 67,353% sederhana dan terletak di garis kritis;
• setidaknya 88,93% sederhana atau terletak di garis, sehingga nol yang sekaligus berada di luar garis dan berulang paling banyak berjumlah 11,07%.

Nol berulang memakan energi

Gagasannya dapat digambarkan dalam satu citra. Skalakan ulang nol-nol itu sehingga rata-rata berjarak satu satuan satu sama lain, seperti manik-manik pada seutas benang. Sebuah teorema Montgomery tentang sebaran pasangan nol menetapkan, secara asimtotik, sebuah “energi” total yang dijumlahkan atas semua pasangan. Nol yang berulang d kali menyumbang d² pada energi ini. Nol-nol yang bertetangga juga memakai sebagian energi itu, melalui tumpang-tindihnya.

Jadi, jika dapat dibuktikan bahwa tetangga-tetangga pasti memakai banyak energi, hanya sedikit yang tersisa untuk nol berulang. Pembuktian melakukannya dalam tiga langkah:

1. Nol yang saling menjaga jarak minimum ditangani secara eksak, berkat sebuah ketaksamaan yang dikenal sebagai saringan besar (large sieve).
2. Sebuah ketaksamaan tentang tujuh nol berturutan, yang dibuktikan dengan bantuan komputer, memberi ganjaran lebih besar pada nol ganda daripada nol sederhana. Suku-suku koreksinya saling meniadakan ketika dijumlahkan sepanjang garis.
3. Sebuah fungsi uji yang dirancang dengan cermat, yaitu “jendela”, membuat ganjaran ini sebesar mungkin.

Makalah ini membandingkan masalahnya dengan mencari keadaan berenergi terendah dari gas satu dimensi dengan dua jenis partikel, yaitu nol sederhana dan nol ganda.

Apa yang diperiksa komputer, dan apa yang tidak

Ketaksamaan tujuh titik itu menuntut pemeriksaan 60.467.309 kotak kemungkinan, tanpa satu pun kegagalan. Hasil untuk garis kritis memerlukan lebih dari 535 juta. Semua teorema utama diformalkan dalam Lean 4, perangkat lunak pemeriksa pembuktian, dalam sekitar 13.300 dan 10.000 baris di atas pustaka yang sudah ada sekitar 102.000 baris, dengan pernyataan tentang nol-nol fungsi zeta sebagaimana didefinisikan dalam pustaka matematika Lean.

Penulis menyatakan satu celah secara terus terang. Setiap teorema bertumpu pada satu aksioma tambahan yang mencatat bahwa sebuah program pencarian mengembalikan nilai “benar”. Inti Lean tidak menjalankan ulang komputasi itu; untuk itu ia memercayai kompilator dan lingkungan eksekusi Lean. Tiga pemeriksaan independen mendukung hasil itu, termasuk hitungan yang identik dari program C++ dan Python yang terpisah.

Metode yang mendekati ujungnya

Makalah ini juga membuktikan di mana pendekatannya harus berhenti. Dengan jendela utamanya, pendekatan itu tak akan pernah bisa mencapai 84%: batas atasnya 0,83998. Untuk jendela apa pun yang cukup teratur, batas atasnya 0,84093 — kurang dari 0,002 di atas hasil baru ini. Untuk melangkah lebih jauh, diperlukan gagasan yang berbeda.

Konflik kepentingan. Penulis menggambarkan karya ini sebagai “sebuah eksperimen riset matematika berbantuan AI”. Penulis menyatakan bahwa argumen, komputasi, formalisasi Lean, gambar, dan sebagian besar teks dikembangkan dengan bantuan besar dari OpenAI Codex dan Anthropic Claude, di bawah arahan penulis; Claude mengembangkan formalisasi, analisis batas-batas metode, jendela dan sertifikat untuk teorema garis kritis, gambar, serta sebagian besar teks, dan kedua sistem menelaah draf “dalam peran sebagai penelaah”. Argumen awalnya dikreditkan pada sebuah pracetak yang ditandatangani Claude. Claude juga menulis artikel ini.