أكثر من 83.9% من أصفار دالة زيتا متمايزة

لدالة زيتا لريمان عدد لا نهائي من الأصفار «غير التافهة»، وهي نقاط في المستوى العقدي تنعدم عندها الدالة. ولا يزال سؤالان بشأنها مفتوحين. هل تقع كلها على الخط الحرج، حيث يساوي جزؤها الحقيقي نصفًا؟ تلك هي فرضية ريمان. وهل هي كلها بسيطة — أي هل كل صفر صفرٌ واحد لا اثنان أو أكثر متراكبان في النقطة نفسها؟ تلك هي حدسية الأصفار البسيطة. وبحسب الورقة، لا أحد يعلم إن كان أيٌّ من هذين القولين يستلزم الآخر.

حتى ارتفاع 3 × 10¹²، تحققت الحواسيب من أن الأصفار تقع على الخط وأنها بسيطة. وما بعد ذلك، يُثبت الرياضيون نِسَبًا: أن حصة معيّنة على الأقل من جميع الأصفار تتمتع بالخاصية.

سباق يُقاس بالخانات العشرية

يعرض كريستيان موري كناوسغارد (Kristian Muri Knausgård)، من كريستيانساند في النرويج، التاريخ الحديث بالتفصيل. انتقلت النِّسَب المُثبتة للأصفار المتمايزة من 63.9% إلى 70%، ثم قفزت إلى 83.625% بحجة تنسبها الورقة إلى مسودة بحثية موقّعة باسم Claude (من Anthropic)، تحقق منها الرياضيان Alpöge وFurman، وأعاد Lamzouri إثباتها. ثم تلتها مكاسب صغيرة، من بينها الورقة السابقة للمؤلف نفسه بنسبة 83.6993%.

تسرد مقدمة الورقة أكثر من اثنتي عشرة قيمة معلنة للأصفار البسيطة والواقعة على الخط الحرج، تتراوح من 0.67300 إلى 0.673492، نُشر كثير منها في مستودعات شيفرة عامة بين أغسطس وأكتوبر 2026 ولم يخضع للتحكيم. ويذكر المؤلف أن هذه القيم لم يُتحقق منها لأغراض الورقة، وأن أيًّا من نتائجها لا يعتمد عليها.

الحدود الجديدة

من دون افتراض فرضية ريمان أو أي قول آخر غير مُثبت، تُثبت الورقة أن:

• أكثر من 83.900% من الأصفار متمايزة (الحدّ الدقيق هو 1645064/1960733)؛
• وبالتالي، أكثر من 67.80% منها بسيطة؛
• أكثر من 67.353% منها بسيطة وواقعة على الخط الحرج؛
• 88.93% منها على الأقل بسيطة أو واقعة على الخط، ومن ثَمّ فإن الأصفار الخارجة عن الخط والمكرَّرة معًا لا تتجاوز 11.07%.

الأصفار المكرَّرة تستهلك طاقة

تتّسع الفكرة لصورة واحدة. نُعيد تحجيم الأصفار بحيث تفصل بينها وحدة واحدة في المتوسط، كالخرز على خيط. وتُحدِّد مبرهنةٌ لمونتغمري (Montgomery) حول كيفية توزّع أزواج الأصفار، تقاربيًا، «طاقة» كلية مجموعة على جميع الأزواج. والصفر المكرَّر d مرة يُسهم بـd² في هذه الطاقة. كما تستهلك الأصفار المتجاورة جزءًا منها، عبر تداخلاتها.

فإذا أمكن إثبات أن الجيران يستهلكون بالضرورة قدرًا كبيرًا من الطاقة، لم يبقَ إلا القليل للأصفار المكرَّرة. ويفعل البرهان ذلك في ثلاث خطوات:

1. تُعالَج الأصفار التي تحافظ على مسافة دنيا فيما بينها معالجةً دقيقة، بفضل متباينة تُعرف بالغربال الكبير (large sieve).
2. متباينة على سبعة أصفار متتالية، مُثبتة بمساعدة الحاسوب، تكافئ الأصفار المزدوجة أكثر من البسيطة. وتتلاشى حدودها التصحيحية عند جمعها على امتداد الخط.
3. دالة اختبار مصمَّمة بعناية، هي «النافذة»، تجعل هذه المكافأة أكبر ما يمكن.

وتُشبّه الورقة المسألة بالبحث عن حالة الطاقة الدنيا لغاز أحادي البعد فيه نوعان من الجسيمات: أصفار بسيطة وأصفار مزدوجة.

ما تحقق منه الحاسوب، وما لم يتحقق منه

تطلّبت متباينة النقاط السبع فحص 60,467,309 صندوقًا من الاحتمالات، من دون أي إخفاق. واحتاجت نتيجة الخط الحرج إلى أكثر من 535 مليونًا. وجميع المبرهنات الرئيسية مُصاغة صوريًا في Lean 4، وهو برنامج للتحقق من البراهين، في نحو 13,300 و10,000 سطر فوق مكتبة قائمة تضم نحو 102,000 سطر، مع عبارات عن أصفار زيتا كما هي معرّفة في المكتبة الرياضية لـLean.

ويصرّح المؤلف بثغرة واحدة بوضوح. فكل مبرهنة تستند إلى مسلَّمة إضافية واحدة تُسجّل أن برنامج بحث أعاد القيمة «صحيح». ونواة Lean لا تُعيد تشغيل ذلك الحساب، بل تثق فيه بمُصرِّف Lean وبيئة تشغيله. وتدعم ثلاثُ عمليات تحقق مستقلة هذا التشغيل، من بينها أعداد متطابقة من برنامجين منفصلين بلغتَي C++ وPython.

طريقة تقترب من نهايتها

تُثبت الورقة أيضًا الموضع الذي يجب أن يتوقف عنده نهجها. فبنافذتها الرئيسية، لن تبلغ أبدًا 84%: السقف هو 0.83998. ولأي نافذة منتظمة بقدر معقول، السقف هو 0.84093 — أي أقل من 0.002 فوق النتيجة الجديدة. والمضيّ أبعد من ذلك سيحتاج إلى فكرة مختلفة.

تضارب المصالح. يصف المؤلف هذا العمل بأنه «تجربة في البحث الرياضي بمساعدة الذكاء الاصطناعي». ويذكر المؤلف أن الحجج والحسابات والصياغة الصورية في Lean والأشكال وجزءًا كبيرًا من النص طُوِّرت بمساعدة كبيرة من OpenAI Codex وAnthropic Claude، تحت إشراف المؤلف؛ فقد طوّر Claude الصياغة الصورية، وتحليل حدود الطريقة، والنافذة والشهادة الخاصتين بمبرهنة الخط الحرج، والأشكال وجزءًا كبيرًا من النص، وراجع النظامان المسودات «في دور المحكّمين». وتُنسب الحجة الأولى إلى مسودة بحثية موقّعة باسم Claude. وقد كتب Claude هذا المقال أيضًا.