MÁS DEL 83,9 % DE LOS CEROS DE ZETA SON DISTINTOS

La función zeta de Riemann tiene infinitos ceros «no triviales», puntos del plano complejo donde se anula. Sobre ellos siguen abiertas dos preguntas. ¿Están todos sobre la recta crítica, donde su parte real vale un medio? Esa es la hipótesis de Riemann. ¿Y son todos simples, es decir, es cada cero un único cero y no dos o más apilados en el mismo punto? Esa es la conjetura de los ceros simples. Según el artículo, nadie sabe si alguno de estos dos enunciados implica el otro.

Hasta una altura de 3 × 10¹², los ordenadores han comprobado que los ceros están sobre la recta y son simples. Más allá, los matemáticos demuestran proporciones: al menos tal fracción de todos los ceros tiene la propiedad.

Una carrera que se mide en decimales

Kristian Muri Knausgård, en Kristiansand (Noruega), expone con detalle la historia reciente. Las proporciones demostradas de ceros distintos pasaron del 63,9 % al 70 %, y luego saltaron al 83,625 % con un argumento que el artículo atribuye a una prepublicación firmada por Claude (Anthropic), verificada por los matemáticos Alpöge y Furman y demostrada de nuevo por Lamzouri. Siguieron pequeñas mejoras, entre ellas el artículo anterior del propio autor, con un 83,6993 %.

La introducción del artículo enumera más de una docena de valores anunciados para los ceros que son simples y están sobre la recta crítica, de 0,67300 a 0,673492, muchos publicados en repositorios de código públicos entre agosto y octubre de 2026 y sin revisión por pares. El autor afirma que esos valores no se han verificado para el artículo y que ninguno de sus resultados depende de ellos.

Las nuevas cotas

Sin suponer la hipótesis de Riemann ni ningún otro enunciado no demostrado, el artículo demuestra que:

• más del 83,900 % de los ceros son distintos (la cota exacta es 1645064/1960733);
• en consecuencia, más del 67,80 % son simples;
• más del 67,353 % son simples y están sobre la recta crítica;
• al menos el 88,93 % son simples o están sobre la recta, de modo que los ceros que están a la vez fuera de la recta y repetidos representan como mucho el 11,07 %.

Los ceros repetidos cuestan energía

La idea cabe en una imagen. Se reescalan los ceros para que estén separados, en promedio, por una unidad, como cuentas en un hilo. Un teorema de Montgomery sobre cómo se distribuyen los pares de ceros fija, asintóticamente, una «energía» total sumada sobre todos los pares. Un cero repetido d veces aporta d² a esa energía. Los ceros vecinos también consumen parte de ella, a través de sus solapamientos.

Así que, si se logra demostrar que los vecinos consumen necesariamente mucha energía, queda poca para los ceros repetidos. La demostración lo hace en tres pasos:

1. Los ceros que mantienen una distancia mínima entre sí se tratan de forma exacta, gracias a una desigualdad conocida como la gran criba (large sieve).
2. Una desigualdad sobre siete ceros consecutivos, demostrada con ayuda del ordenador, premia más a los ceros dobles que a los simples. Sus términos de corrección se anulan al sumarlos a lo largo de la recta.
3. Una función de prueba cuidadosamente diseñada, la «ventana», hace que esa recompensa sea lo más grande posible.

El artículo compara el problema con la búsqueda del estado de mínima energía de un gas unidimensional con dos tipos de partículas: ceros simples y ceros dobles.

Lo que comprobó el ordenador y lo que no

La desigualdad de siete puntos exigió examinar 60 467 309 cajas de posibilidades, sin ningún fallo. El resultado sobre la recta crítica necesitó más de 535 millones. Todos los teoremas principales están formalizados en Lean 4, un programa de verificación de demostraciones, en unas 13 300 y 10 000 líneas, sobre una biblioteca existente de unas 102 000 líneas, con enunciados sobre los ceros de zeta tal como se definen en la biblioteca matemática de Lean.

El autor declara abiertamente una laguna. Cada teorema descansa en un axioma adicional que registra que un programa de búsqueda devolvió «verdadero». El núcleo de Lean no vuelve a ejecutar ese cálculo: para ello confía en el compilador y el entorno de ejecución de Lean. Tres comprobaciones independientes respaldan la ejecución, entre ellas recuentos idénticos obtenidos por programas separados en C++ y en Python.

Un método cerca de su final

El artículo demuestra también dónde debe detenerse su enfoque. Con su ventana principal, nunca podrá alcanzar el 84 %: el techo es 0,83998. Para cualquier ventana razonablemente regular, el techo es 0,84093, menos de 0,002 por encima del nuevo resultado. Ir más lejos exigirá una idea distinta.

Conflicto de intereses. El autor describe este trabajo como «un experimento de investigación matemática asistida por IA». El autor afirma que los argumentos, los cálculos, la formalización en Lean, las figuras y gran parte del texto se desarrollaron con una ayuda sustancial de OpenAI Codex y Anthropic Claude, bajo su dirección; Claude desarrolló la formalización, el análisis de los límites del método, la ventana y el certificado del teorema sobre la recta crítica, las figuras y gran parte del texto, y ambos sistemas revisaron borradores «en el papel de revisores». El argumento de partida se atribuye a una prepublicación firmada por Claude. Claude también escribió el presente artículo.