DER DRUCK EINES GLUONENFEUERS, NACH ZWANZIG JAHREN

Quarks werden von Gluonen zusammengehalten, den Trägern der starken Kraft. Erhitzt man Materie genug, löst sich diese Bindung: Gluonen bewegen sich frei in einem Plasma. Um diesen Zustand mit weniger Komplikationen zu untersuchen, lassen Physiker die Quarks oft weg und behalten nur die Gluonen – eine Theorie namens reine Yang-Mills-Theorie. Sie bewahrt, so die Autoren, die wesentlichen Züge der echten starken Kraft und ist zugleich einfach genug, um sehr genau auf Computern simuliert zu werden.

Eine Grundfrage zu diesem Plasma: Welchen Druck übt es bei einer bestimmten Temperatur aus?

Eine Antwort, Schritt für Schritt gebaut

Bei sehr hoher Temperatur wird die Kraft zwischen Gluonen schwächer; gemessen wird sie durch eine kleine Zahl g, die Kopplung. Der Druck lässt sich dann als Reihe schreiben: ein Hauptterm, dann Korrekturen proportional zu g², g³, g⁴ und so weiter, jede kleiner als die vorige. Der Hauptterm ist der Druck freier Gluonen, der sogenannte Stefan-Boltzmann-Grenzwert.

Die Autoren zeichnen die Geschichte nach. Der g⁴-Term mit einem Logarithmus wurde 1982 gefunden; der vollständige g⁴-Term erst 1994, so schwierig waren die Rechnungen mit drei Schleifen; der g⁵-Term kurz darauf. In der nächsten Ordnung, g⁶, wird es noch schwieriger. Ein Teil davon stammt von langsamen magnetischen Fluktuationen im Plasma, die sich mit dieser Art von Entwicklung überhaupt nicht berechnen lassen. Ein Kunstgriff, der das Plasma in getrennte Skalen zerlegt – schnell, langsamer, am langsamsten –, bewältigte diesen Teil, und Computersimulationen einer vereinfachten dreidimensionalen Version lieferten seinen Wert.

Blieb ein Stück: der Beitrag der schnellsten Skala, für den man alle Vakuumdiagramme mit vier Schleifen aufsummieren muss. „Lange als unlösbar betrachtet“, schreibt das Team, „ist dieses Problem seit über zwei Jahrzehnten offen geblieben.“

65 Diagramme, eine Million Stunden

Keijo Kajantie, Pablo Navarrete, Risto Paatelainen, Leon Sandbote, York Schröder, Kaapo Seppänen und Aleksi Vuorinen – von den Universitäten Helsinki und Turku, der Universität Bío-Bío in Chile und der Universität Bern – nahmen es in Angriff.

• Es gibt 65 Vier-Schleifen-Diagramme aus Gluonen (und Hilfsteilchen, sogenannten „Geistern“).
• Das Ausarbeiten ihrer Algebra ergab rund 100.000 Integrale, die sich auf 21 Standardformen zurückführen lassen. Zehn davon lassen sich nicht in einfachere Teile zerlegen, und neun davon waren nie berechnet worden.
• Um sie auszuwerten, nutzte das Team eine Methode namens thermische Schleifen-Baum-Dualität (thermal loop-tree duality), kombiniert mit neuen Wegen, die Unendlichkeiten abzuziehen, die bei sehr hohen und sehr niedrigen Impulsen auftreten. Was übrig blieb, war endlich und ließ sich numerisch durch Zufallsstichproben integrieren: rund eine Million CPU-Stunden auf Supercomputern.

Zur Kontrolle hob sich die Abhängigkeit von einer willkürlichen Wahl in der Rechnung (dem Eichparameter) heraus, wie es sein muss. Auch die Unendlichkeiten aus den verschiedenen Skalen hoben sich exakt auf, wie es die Theorie verlangt.

Die fehlende Zahl

Der entscheidende neue Koeffizient ergibt sich zu 6236 ± 40. Eine frühere Schätzung, indirekt aus Simulationen abgeleitet, lag bei 6000 ± 600 – damit verträglich, aber fünfzehnmal ungenauer. In der üblichen Notation der Autoren beträgt der vollständige g⁶-Koeffizient des Drucks für SU(3) – die Version mit drei „Farben“, die auf dem Gitter simuliert wird – −3591,2, mit einer Unsicherheit von ±16,9 aus dieser Rechnung und ±250 aus dem auf dem Gitter berechneten magnetischen Anteil.

Theorie trifft Simulation

Der Lohn zeigt sich beim Vergleich der Reihe mit vierdimensionalen Gittersimulationen, die diesen Druck bis zum Tausendfachen der Temperatur berechnet haben, bei der die Gluonen frei werden (etwa 260 MeV). Niedrigere Ordnungen verhalten sich schlecht: Die g³- und g⁴-Ergebnisse schießen über den Grenzwert freier Gluonen hinaus, und g⁵ fällt deutlich unter die Simulationen. Mit dem g⁶-Term, unter Verwendung einer üblichen Art, die Reihe umzuordnen, gerät die Theorie in quantitative Übereinstimmung mit den Gitterdaten, bis hinunter zu einem Mehrfachen dieser kritischen Temperatur.

Den Autoren zufolge ist dies erst das zweite Mal, dass die Thermodynamik einer heißen Quantenfeldtheorie bis zu dieser Ordnung ausgerechnet wurde, und das erste Mal in einer physikalischen Eichtheorie. Während der Fertigstellung erfuhren sie, dass eine unabhängige Gruppe an der Universität Granada dieselbe Rechnung versuchte; die beiden Teams prüften, dass ihre Hauptergebnisse übereinstimmen.

Als Nächstes auf ihrer Liste: der g⁷-Term und die vollständige starke Kraft mit Quarks und von null verschiedenen Quarkdichten. Damit erreiche man Bereiche jenseits heutiger Gittersimulationen, die, so die Autoren, für Verschmelzungen von Neutronensternen von Bedeutung sind.