بالمال المقترض، يربح المقامر مرة من كل مرتين

تخيّل «شركة مالية» في أبسط صورها. تبدأ ببعض المال وتريد مضاعفته بمعامل r. لا يمكنها إلا أن تراهن رهانات عادلة — رهانات متوسط ربحها صفر — ولا يمكنها أن تخاطر بأكثر مما تملكه حاليًا. وتواصل المراهنة حتى تبلغ هدفها أو تفلس.

تعطي نظرية الاحتمالات جوابًا قاطعًا: لا سبيل إلى تحقيق ربح في المتوسط. فنتيجة كلاسيكية، هي مبرهنة التوقف الاختياري، تحدّ احتمال بلوغ r ضعفًا من المال الأولي قبل الإفلاس بـ1 من r. تريد مضاعفة رهانك 1000 مرة؟ فرصتك واحدة من ألف على الأكثر. يُعرف هذا باسم خراب المقامر.

لغز ليمان

يبدأ William Kuszmaul، عالم الحاسوب في جامعة كارنيغي ميلون، مذكرته القصيرة بحالة حقيقية. فمن 1995 إلى 2008، ضاعفت شركة ليمان براذرز القابضة حقوق مساهميها نحو 8 مرات، من نحو 3.4 مليار دولار إلى نحو 26 مليار دولار. ومع رهانات عادلة ومن دون اقتراض، كان ينبغي أن يحدث ذلك باحتمال لا يتجاوز نحو 1 من 8.

لكن كان هناك فخ. فحين أفلس ليمان عام 2008، لم تكن قيمته صفر دولار: بل كانت نحو سالب 150 مليار دولار. فبما لديه من نحو 26 مليار دولار، كان قد اقترض نحو 640 مليار دولار ليراهن بها. وطوال الفترة كلها، ظلت نسبة رافعته المالية — إجمالي الأصول مقسومًا على حقوق الملكية — بين 20 و40. كان يخاطر مرارًا بأكثر بكثير مما يملك. ويضيف المؤلف أن مقارنته تتجاهل عوامل كثيرة، مثل النمو العام لسوق الأسهم ورأس المال الجديد المجموع من المساهمين.

لعبة الرافعة

تحوّل المذكرة ذلك إلى لعبة دقيقة. تبدأ لاعبة، Alice، بدولار واحد وتطمح إلى m دولار. يجب أن يكون كل رهان عادلًا، لكن قبل كل رهان يمكنها أن تقترض ما يصل إلى L − 1 ضعف ما تملك، فيمكنها أن تخسر ما يصل إلى L ضعف مالها الخاص. وتنتهي اللعبة حين تبلغ هدفها أو تهبط إلى الصفر أو دونه.

الحركة البديهية، أي رهان واحد كبير على الهدف كله، تؤدي أداءً سيئًا. ومضاعفة مالها مرة بعد مرة أفضل. والعبرة هي النمو ببطء، بحيث يمنحها كل ربح مزيدًا من المال لترفعه بالرافعة في المرة التالية. وأفضل استراتيجية تدفع ذلك إلى أقصاه: في كل رهان، لا تسعى Alice إلا إلى ربح جزء ضئيل ε من مالها، وهو ما تربحه في كل مرة تقريبًا، بينما تخاطر برأس مالها كله إضافة إلى القرض في الخسارة النادرة.

فرصة واحدة من اثنتين لمضاعفة المال 1000 مرة

يبرهن المؤلف أن هذه الاستراتيجية تنجح باحتمال يقترب من

m^(−1/L)

— المضاعف المستهدف مرفوعًا إلى قوة سالب واحد على الرافعة — وأنه لا توجد استراتيجية يمكنها أن تفعل أفضل. ويستخدم البرهان مبرهنة التوقف الاختياري نفسها، لكن مطبّقة لا على ثروة Alice بل على جذرها من الرتبة L، وهي كمية لا يمكنها في المتوسط إلا أن تنجرف إلى الأسفل.

الأرقام لافتة. فبرافعة قدرها 10، أقل من رافعة ليمان، يبلغ احتمال مضاعفة مالك 1000 مرة من دون إفلاس أبدًا نحو 50%، لأن 1000^(−1/10) ≈ 0.5. وعمومًا، برافعة L، تمنحك فرصة رمي قطعة نقدية معاملًا قدره 2 مرفوعًا إلى القوة L. وبرافعة 20، هذا نحو مليون.

من الذي يُفلس

لنعد إلى ليمان. برافعة تفوق 20، يقول هذا النموذج المبسّط إن نموًا بثمانية أضعاف لم يكن مثيرًا للإعجاب إلى هذا الحد: احتماله نحو 8^(−1/20) ≈ 90%، حتى مع رهانات عادلة فحسب. والاقتراض ليس مجانيًا بالطبع؛ فقد قدّر ليمان أنه كان يدفع نحو 5% فائدة سنويًا. وإدخال الفائدة في اللعبة لا يغيّر الاستنتاج، ما دام سعر الفائدة أقل من واحد على الرافعة.

يوضح Kuszmaul أن هذا نموذج مبسّط، كُتب لمقرّره في الخوارزميات العشوائية، ولا يدّعي تمثيل التمويل في العالم الحقيقي. ودرسه أضيق وأحدّ: سلسلة أرباح مذهلة ليست دليلًا على رهانات جيدة. فمع رافعة كافية، يمكن للرهانات العادلة أن تبني ثروة باحتمال كبير — وحين تأتي الخسارة النادرة، تهبط إلى ما دون الصفر بكثير، وتقع على شخص آخر غير المقامر.