ধার করা টাকায় জুয়াড়ি দুবারে একবার জেতে

সবচেয়ে সরল রূপে একটি “আর্থিক প্রতিষ্ঠান” কল্পনা করুন। সেটি কিছু টাকা নিয়ে শুরু করে এবং তা r গুণ করতে চায়। সে শুধু ন্যায্য বাজি ধরতে পারে — এমন বাজি যার গড় লাভ শূন্য — এবং তার হাতে যা আছে তার বেশি ঝুঁকি নিতে পারে না। লক্ষ্যে পৌঁছানো বা দেউলিয়া হওয়া পর্যন্ত সে বাজি ধরে যায়।

সম্ভাবনা তত্ত্ব একটি দৃঢ় উত্তর দেয়: গড়ে লাভ করার কোনো উপায় নেই। একটি চিরায়ত ফল, ঐচ্ছিক থামার উপপাদ্য (optional stopping theorem), দেউলিয়া হওয়ার আগে শুরুর টাকার r গুণে পৌঁছানোর সম্ভাবনাকে r-এ 1-এ সীমাবদ্ধ করে। বাজির টাকা 1,000 গুণ করতে চান? আপনার সম্ভাবনা বড়জোর হাজারে এক। একে বলা হয় জুয়াড়ির সর্বনাশ (gambler’s ruin)।

লেম্যানের ধাঁধা

কার্নেগি মেলন বিশ্ববিদ্যালয়ের কম্পিউটার বিজ্ঞানী William Kuszmaul তাঁর ছোট নোটটি শুরু করেছেন একটি বাস্তব ঘটনা দিয়ে। 1995 থেকে 2008 পর্যন্ত, লেম্যান ব্রাদার্স হোল্ডিংস তার শেয়ারহোল্ডারদের ইকুইটি মোটামুটি 8 গুণ করেছিল, প্রায় $3.4 বিলিয়ন থেকে প্রায় $26 বিলিয়নে। ন্যায্য বাজি আর কোনো ধার ছাড়া, এটি ঘটার সম্ভাবনা বড়জোর প্রায় 8-এ 1 হওয়ার কথা।

কিন্তু একটা প্যাঁচ ছিল। 2008-এ লেম্যান যখন দেউলিয়া হয়, তখন এর মূল্য শূন্য ডলার ছিল না: ছিল মোটামুটি ঋণাত্মক $150 বিলিয়ন। প্রায় $26 বিলিয়ন নিয়ে, বাজি ধরার জন্য এটি প্রায় $640 বিলিয়ন ধার নিয়েছিল। পুরো সময়জুড়ে এর লিভারেজ অনুপাত — মোট সম্পদ ভাগ ইকুইটি — 20 থেকে 40-এর মধ্যে ছিল। এটি বারবার নিজের যা ছিল তার চেয়ে অনেক বেশি ঝুঁকিতে ফেলছিল। লেখক যোগ করেছেন, তাঁর তুলনায় অনেক বিষয় বাদ পড়েছে, যেমন শেয়ারবাজারের সাধারণ বৃদ্ধি এবং শেয়ারহোল্ডারদের কাছ থেকে তোলা নতুন মূলধন।

লিভারেজের খেলা

নোটটি এটিকে একটি নির্দিষ্ট খেলায় রূপ দেয়। একজন খেলোয়াড়, Alice, $1 নিয়ে শুরু করে এবং m ডলারের লক্ষ্য রাখে। প্রতিটি বাজি ন্যায্য হতে হবে, তবে প্রতিটির আগে সে নিজের টাকার L − 1 গুণ পর্যন্ত ধার নিতে পারে, ফলে সে নিজের টাকার L গুণ পর্যন্ত হারাতে পারে। খেলা শেষ হয় যখন সে লক্ষ্যে পৌঁছায় অথবা শূন্য বা তার নিচে নেমে যায়।

স্পষ্ট চালটি, পুরো লক্ষ্যের জন্য একটি বড় বাজি, খারাপ ফল দেয়। বারবার টাকা দ্বিগুণ করা ভালো কাজ করে। শিক্ষাটি হলো ধীরে বাড়া, যাতে প্রতিটি জয় পরের বার লিভারেজের জন্য তাকে আরও বেশি টাকা দেয়। সেরা কৌশলটি এটিকে চরমে নিয়ে যায়: প্রতিটি বাজিতে Alice তার টাকার কেবল একটি ক্ষুদ্র ভগ্নাংশ ε জেতার লক্ষ্য রাখে, যা সে প্রায় প্রতিবারই জেতে, অথচ বিরল হারে সে ঝুঁকিতে ফেলে তার পুরো পুঁজি আর ধার দুটোই।

×1,000-এর দুয়ে এক সুযোগ

লেখক প্রমাণ করেছেন যে এই কৌশল এমন সম্ভাবনায় সফল হয় যা এগিয়ে যায়

m^(−1/L)

-এর দিকে — লক্ষ্য-গুণিতকের ঘাত ঋণাত্মক এক ভাগ লিভারেজ — এবং কোনো কৌশলই এর চেয়ে ভালো করতে পারে না। প্রমাণে সেই একই ঐচ্ছিক থামার উপপাদ্য ব্যবহার করা হয়েছে, তবে Alice-এর সম্পদে নয়, বরং তার L-তম মূলে, এমন একটি রাশি যা গড়ে কেবল নিচের দিকেই সরতে পারে।

সংখ্যাগুলো চমকপ্রদ। 10-এর লিভারেজে, যা লেম্যানের চেয়ে কম, কখনো দেউলিয়া না হয়ে টাকা 1,000 গুণ করার সম্ভাবনা প্রায় 50%, কারণ 1,000^(−1/10) ≈ 0.5। আরও সাধারণভাবে, L লিভারেজে, টস-জেতার মতো সুযোগে আপনি পান 2-এর ঘাত L গুণ। লিভারেজ 20 হলে, তা প্রায় দশ লাখ।

সর্বস্বান্ত হয় কে

আবার লেম্যানে ফিরি। 20-এর বেশি লিভারেজে, এই খেলনা মডেল বলে আটগুণ বৃদ্ধি তেমন চমকপ্রদ কিছু নয়: প্রায় 8^(−1/20) ≈ 90% সম্ভাব্য, বাজিগুলো নিছক ন্যায্য হলেও। অবশ্য ধার নেওয়া বিনামূল্যে নয়; লেম্যানের হিসাবে সে বছরে প্রায় 5% সুদ দিত। খেলায় সুদ যোগ করলেও সিদ্ধান্ত বদলায় না, যতক্ষণ সুদের হার এক ভাগ লিভারেজের নিচে থাকে।

Kuszmaul স্পষ্ট করে বলেছেন, এটি একটি খেলনা মডেল, তাঁর র‍্যান্ডমাইজড অ্যালগরিদম কোর্সের জন্য লেখা, এবং বাস্তব জগতের অর্থব্যবস্থাকে ধরার দাবি করে না। এর শিক্ষাটি সংকীর্ণতর ও তীক্ষ্ণতর: লাভের একটি চোখধাঁধানো ধারা ভালো বাজির প্রমাণ নয়। যথেষ্ট লিভারেজ থাকলে ন্যায্য বাজিও উচ্চ সম্ভাবনায় সম্পদ গড়ে তুলতে পারে — আর যখন সেই বিরল ক্ষতি আসে, তা শূন্যের অনেক নিচে নেমে যায়, পড়ে জুয়াড়ি ছাড়া অন্য কারও ঘাড়ে।