借りたお金なら、ギャンブラーは2回に1回勝つ

最も単純な形の「金融会社」を思い浮かべてほしい。いくらかの資金から始めて、それをr倍にしたい。できるのは公平な賭け、つまり平均の利得がゼロになる賭けだけで、いま持っている以上の額を賭けることはできない。目標に達するか、破産するまで賭けを続ける。

確率論の答えははっきりしている。平均して利益を出す方法はない。古典的な結果である任意停止定理（optional stopping theorem）によれば、破産する前に元手のr倍に達する確率は、最大でもr分の1に抑えられる。元手を1,000倍にしたい？ 確率はせいぜい1,000分の1だ。これはギャンブラーの破産（gambler’s ruin）として知られている。

リーマンの謎

カーネギーメロン大学の計算機科学者ウィリアム・クズモール（William Kuszmaul）は、この短いノートを実際の例から始める。1995年から2008年にかけて、リーマン・ブラザーズ・ホールディングスは株主資本をおよそ8倍、約34億ドルから約260億ドルに増やした。公平な賭けだけで借金もなければ、これが起きる確率はせいぜい約8分の1だったはずだ。

だが、からくりがあった。2008年にリーマンが破綻したとき、その価値はゼロドルではなく、およそマイナス1,500億ドルだった。約260億ドルの自己資本に対して、賭けに使うために約6,400億ドルを借りていた。この期間全体を通じて、レバレッジ比率（総資産を自己資本で割ったもの）は20から40のあいだにとどまっていた。持っているよりはるかに多くを、くり返しリスクにさらしていたのだ。著者は、この比較が株式市場全体の成長や株主から新たに調達した資本など、多くの要因を無視していることも付け加えている。

レバレッジ・ゲーム

このノートは、これを厳密なゲームに置き換える。プレイヤーのアリスは1ドルから始め、mドルを目指す。どの賭けも公平でなければならないが、賭けの前に毎回、持ち金のL − 1倍まで借りられる。つまり自分のお金のL倍まで失いうる。目標に達するか、持ち金がゼロ以下になったところでゲームは終わる。

目標額全体に一度に大きく賭けるという素直な手は、うまくいかない。持ち金をくり返し倍にしていくほうがましだ。教訓は、ゆっくり増やすこと。そうすれば勝つたびに、次のレバレッジに使える元手が増える。最善の戦略はこれを極限まで推し進める。アリスは毎回の賭けで、持ち金のほんのわずかな割合εだけを稼ごうとする。これはほぼ毎回勝てるが、まれに負けたときには、持ち金全部と借りた分を失う。

1,000倍になる確率は2回に1回

著者は、この戦略が成功する確率が

m^(−1/L)

（目標倍率の「−1/レバレッジ」乗）に近づくこと、そしてこれより良い戦略は存在しないことを証明する。証明には同じ任意停止定理を使うが、それをアリスの資産そのものではなく、そのL乗根に適用する。L乗根は、平均すると下にしか動かない量だ。

数字は驚くべきものだ。リーマンより低い10のレバレッジで、一度も破産せずにお金を1,000倍にできる確率は約**50%**になる。1,000^(−1/10) ≈ 0.5だからだ。より一般に、レバレッジLなら、五分五分の確率で2のL乗倍にできる。レバレッジ20なら、それは約100万倍だ。

破産するのは誰か

リーマンの話に戻ろう。レバレッジが20を超えるなら、このおもちゃのモデルによれば、8倍の成長はそれほど驚くことではない。ただ公平なだけの賭けでも、確率は約**8^(−1/20) ≈ 90%**だ。もちろん借金はただではない。リーマンは年に約5%の利息を払っていたと見積もっていた。ゲームに利息を含めても、利率がレバレッジ分の1未満であるかぎり、結論は変わらない。

クズモールは、これが自分の乱択アルゴリズムの講義のために書いたおもちゃのモデルであり、現実の金融をとらえていると主張するものではないと明言している。その教訓はもっと狭く、もっと鋭い。目覚ましい利益の連続は、賭けが良かったことの証明にはならない。十分なレバレッジがあれば、公平な賭けでも高い確率で財産を築ける。そしてまれな損失が来たとき、それはゼロのはるか下に落ち、ギャンブラー以外の誰かの上に降りかかる。