С ЗАЁМНЫМИ ДЕНЬГАМИ ИГРОК ВЫИГРЫВАЕТ В ОДНОМ СЛУЧАЕ ИЗ ДВУХ

Представьте «финансовую компанию» в простейшем виде. Она начинает с некоторой суммы и хочет умножить её в r раз. Она может делать только честные ставки — ставки, средний выигрыш которых равен нулю, — и не может рисковать больше, чем имеет в данный момент. Она продолжает ставить, пока не достигнет цели или не обанкротится.

Теория вероятностей даёт твёрдый ответ: получить прибыль в среднем невозможно. Классический результат — теорема об остановке (optional stopping theorem) — ограничивает шанс достичь суммы в r раз больше начальной до разорения величиной 1 к r. Хотите умножить капитал в 1000 раз? Ваши шансы — не больше одного к тысяче. Это называется разорением игрока.

Загадка Lehman

Уильям Кусмауль, специалист по информатике из Университета Карнеги — Меллона, начинает свою короткую заметку с реального случая. С 1995 по 2008 год Lehman Brothers Holdings увеличил собственный капитал акционеров примерно в 8 раз — примерно с $3,4 млрд до примерно $26 млрд. При честных ставках и без заимствований это должно было произойти с вероятностью не более примерно 1 к 8.

Но был подвох. Когда Lehman обанкротился в 2008 году, он стоил не ноль долларов, а примерно минус $150 млрд. Имея около $26 млрд, он занял около $640 млрд, чтобы делать ставки. На протяжении всего периода его коэффициент левериджа — суммарные активы, делённые на собственный капитал, — держался между 20 и 40. Он раз за разом рисковал гораздо большим, чем имел. Автор добавляет, что его сравнение не учитывает многих факторов, например общий рост фондового рынка и новый капитал, привлечённый у акционеров.

Игра с кредитным плечом

Заметка превращает это в точную игру. Игрок, Алиса, начинает с $1 и стремится к m долларам. Каждая ставка должна быть честной, но перед каждой она может занять до L − 1 раз больше того, что у неё есть, так что она может потерять до L раз больше собственных денег. Игра заканчивается, когда она достигает цели или опускается до нуля или ниже.

Очевидный ход — одна крупная ставка сразу на всю цель — работает плохо. Раз за разом удваивать деньги — лучше. Урок в том, чтобы расти медленно: тогда каждый выигрыш даёт больше средств для плеча в следующий раз. Лучшая стратегия доводит это до предела: на каждой ставке Алиса стремится получить лишь крошечную долю ε своих денег, что ей удаётся почти всегда, а при редком проигрыше рискует всем своим капиталом плюс заём.

Один шанс из двух на ×1000

Автор доказывает, что эта стратегия успешна с вероятностью, стремящейся к

m^(−1/L)

— целевому множителю в степени минус один, делённый на плечо, — и что никакая стратегия не может быть лучше. В доказательстве используется та же теорема об остановке, но применённая не к состоянию Алисы, а к корню L-й степени из него — величине, которая в среднем может только снижаться.

Цифры поразительны. При плече 10, меньшем, чем у Lehman, шанс умножить деньги в 1000 раз, ни разу не обанкротившись, составляет около 50%, поскольку 1000^(−1/10) ≈ 0,5. В общем случае при плече L шанс «орёл или решка» даёт множитель 2 в степени L. При плече 20 это около миллиона.

Кто разоряется

Вернёмся к Lehman. При плече выше 20 игрушечная модель говорит, что восьмикратный рост был не так уж впечатляющ: его вероятность около 8^(−1/20) ≈ 90%, даже при ставках, которые были всего лишь честными. Заимствования, конечно, не бесплатны: по оценке Lehman, он платил около 5% годовых. Учёт процентов в игре не меняет вывода, если процентная ставка остаётся ниже 1, делённой на плечо.

Кусмауль ясно говорит, что это игрушечная модель, написанная для его курса по рандомизированным алгоритмам, и что она не претендует на описание реальных финансов. Её урок уже и острее: впечатляющая серия прибылей — не доказательство удачных ставок. При достаточном плече честные ставки могут с высокой вероятностью принести состояние, а когда приходит редкий проигрыш, он уходит далеко ниже нуля — и ложится на кого-то другого, а не на игрока.