VỚI TIỀN ĐI VAY, CON BẠC THẮNG HAI LẦN MỘT

Hãy hình dung một “công ty tài chính” ở dạng đơn giản nhất. Nó bắt đầu với một số tiền và muốn nhân số tiền đó lên r lần. Nó chỉ được thực hiện những ván cược công bằng — những ván mà lợi nhuận trung bình bằng không — và không được mạo hiểm nhiều hơn số tiền đang có. Nó cứ cược mãi cho đến khi đạt mục tiêu hoặc phá sản.

Lý thuyết xác suất cho một câu trả lời chắc chắn: không có cách nào kiếm lời tính trung bình. Một kết quả kinh điển, định lý dừng tùy chọn (optional stopping theorem), giới hạn xác suất đạt tới r lần số vốn ban đầu trước khi cháy túi ở mức 1 phần r. Muốn nhân số vốn lên 1.000 lần? Cơ hội của bạn tối đa là một phần nghìn. Điều này được gọi là sự phá sản của con bạc (gambler’s ruin).

Câu đố Lehman

William Kuszmaul, nhà khoa học máy tính tại Đại học Carnegie Mellon, mở đầu ghi chú ngắn của mình bằng một trường hợp có thật. Từ năm 1995 đến 2008, Lehman Brothers Holdings đã nhân vốn chủ sở hữu lên khoảng 8 lần, từ khoảng 3,4 tỷ đô la lên khoảng 26 tỷ đô la. Với các ván cược công bằng và không vay nợ, điều đó lẽ ra chỉ xảy ra với xác suất tối đa khoảng 1 phần 8.

Nhưng có một điểm mấu chốt. Khi Lehman phá sản năm 2008, giá trị của nó không phải là không đô la: nó có giá trị khoảng âm 150 tỷ đô la. Với khoảng 26 tỷ đô la của mình, nó đã vay khoảng 640 tỷ đô la để đặt cược. Trong suốt giai đoạn đó, tỷ lệ đòn bẩy — tổng tài sản chia cho vốn chủ sở hữu — luôn ở mức 20 đến 40. Nó liên tục mạo hiểm nhiều hơn rất nhiều so với những gì mình có. Tác giả nói thêm rằng phép so sánh của ông bỏ qua nhiều yếu tố, như sự tăng trưởng chung của thị trường chứng khoán và vốn mới huy động từ cổ đông.

Trò chơi đòn bẩy

Ghi chú biến điều này thành một trò chơi chính xác. Một người chơi, Alice, bắt đầu với 1 đô la và nhắm tới m đô la. Mọi ván cược đều phải công bằng, nhưng trước mỗi ván cô được vay tối đa L − 1 lần số tiền mình có, nên cô có thể mất tới L lần số tiền của chính mình. Trò chơi kết thúc khi cô đạt mục tiêu hoặc tụt xuống bằng không hay thấp hơn.

Nước đi hiển nhiên, một ván cược lớn cho toàn bộ mục tiêu, cho kết quả tệ. Nhân đôi số tiền hết lần này đến lần khác thì tốt hơn. Bài học là tăng trưởng chậm, để mỗi lần thắng cô lại có thêm vốn để dùng đòn bẩy cho lần sau. Chiến lược tốt nhất đẩy điều này tới giới hạn: ở mỗi ván, Alice chỉ nhắm kiếm một phần rất nhỏ ε số tiền của mình, điều mà cô thắng gần như mọi lần, trong khi mạo hiểm toàn bộ vốn cộng khoản vay cho lần thua hiếm hoi.

Một nửa cơ hội để nhân 1.000 lần

Tác giả chứng minh rằng chiến lược này thành công với xác suất tiến tới

m^(−1/L)

— bội số mục tiêu lũy thừa trừ một chia cho đòn bẩy — và rằng không chiến lược nào có thể tốt hơn. Chứng minh dùng chính định lý dừng tùy chọn đó, nhưng áp dụng không phải cho tài sản của Alice mà cho căn bậc L của nó, một đại lượng chỉ có thể trôi xuống tính trung bình.

Các con số thật đáng kinh ngạc. Với đòn bẩy 10, thấp hơn của Lehman, xác suất nhân số tiền lên 1.000 lần mà không bao giờ phá sản là khoảng 50%, vì 1.000^(−1/10) ≈ 0,5. Tổng quát hơn, với đòn bẩy L, cơ hội năm ăn năm thua đưa bạn tới hệ số 2 mũ L. Với đòn bẩy 20, con số đó là khoảng một triệu.

Ai là người bị phá sản

Quay lại Lehman. Với đòn bẩy trên 20, mô hình đồ chơi này cho biết việc tăng trưởng gấp tám lần không có gì quá ấn tượng: xác suất khoảng 8^(−1/20) ≈ 90%, ngay cả với những ván cược chỉ đơn thuần công bằng. Tất nhiên vay tiền không miễn phí; Lehman ước tính đã trả khoảng 5% tiền lãi mỗi năm. Đưa tiền lãi vào trò chơi không làm thay đổi kết luận, miễn là lãi suất vẫn thấp hơn 1 chia cho đòn bẩy.

Kuszmaul nói rõ rằng đây là một mô hình đồ chơi, được viết cho môn thuật toán ngẫu nhiên hóa mà ông giảng dạy, và không tuyên bố nắm bắt được tài chính thực tế. Bài học của nó hẹp hơn và sắc bén hơn: một chuỗi lợi nhuận ngoạn mục không phải là bằng chứng cho những ván cược tốt. Với đủ đòn bẩy, những ván cược công bằng có thể gây dựng một gia tài với xác suất cao — và khi lần thua hiếm hoi xảy ra, nó rơi xuống thấp hơn không rất nhiều, đổ lên đầu một ai đó không phải con bạc.