BORÇ PARAYLA KUMARBAZ İKİ SEFERDEN BİRİNDE KAZANIYOR

En basit hâliyle bir “finans şirketi” düşünün. Bir miktar parayla başlıyor ve bunu r katına çıkarmak istiyor. Yalnızca adil bahisler — ortalama kazancı sıfır olan bahisler — yapabiliyor ve o an sahip olduğundan fazlasını riske atamıyor. Hedefine ulaşana ya da iflas edene kadar bahis oynamaya devam ediyor.

Olasılık kuramı kesin bir yanıt veriyor: ortalamada kâr etmenin hiçbir yolu yok. Klasik bir sonuç olan isteğe bağlı durdurma teoremi (optional stopping theorem), iflastan önce başlangıç paranızın r katına ulaşma şansını r’de 1 ile sınırlar. Paranızı 1.000 katına mı çıkarmak istiyorsunuz? Şansınız en fazla binde bir. Buna kumarbazın iflası (gambler’s ruin) denir.

Lehman bilmecesi

Carnegie Mellon Üniversitesi’nden bilgisayar bilimci William Kuszmaul kısa notuna gerçek bir vakayla başlıyor. 1995’ten 2008’e Lehman Brothers Holdings özsermayesini kabaca 8 katına çıkardı: yaklaşık 3,4 milyar dolardan yaklaşık 26 milyar dolara. Adil bahislerle ve borçlanmadan bunun olma olasılığı en fazla yaklaşık 8’de 1 olmalıydı.

Ama bir püf noktası vardı. Lehman 2008’de iflas ettiğinde değeri sıfır dolar değildi: yaklaşık eksi 150 milyar dolardı. Yaklaşık 26 milyar dolarıyla bahis için 640 milyar dolar civarında borç almıştı. Tüm dönem boyunca kaldıraç oranı — toplam varlıkların özsermayeye bölümü — 20 ile 40 arasında kaldı. Defalarca sahip olduğundan çok daha fazlasını riske atıyordu. Yazar, karşılaştırmasının borsanın genel büyümesi ve hissedarlardan toplanan yeni sermaye gibi birçok etkeni göz ardı ettiğini ekliyor.

Kaldıraç oyunu

Not bunu kesin bir oyuna dönüştürüyor. Bir oyuncu, Alice, 1 dolarla başlıyor ve m dolar hedefliyor. Her bahis adil olmalı, ama her birinden önce sahip olduğunun L − 1 katına kadar borç alabiliyor; böylece kendi parasının L katına kadar kaybedebiliyor. Oyun, hedefine ulaştığında ya da sıfıra veya altına düştüğünde bitiyor.

Akla ilk gelen hamle, tüm hedef için tek bir büyük bahis, kötü sonuç veriyor. Parasını tekrar tekrar ikiye katlamak daha iyi. Ders şu: yavaş büyümek, böylece her kazanç bir sonraki sefer kaldıraçlayacağı daha fazla para sağlıyor. En iyi strateji bunu sınırına götürüyor: Alice her bahiste parasının yalnızca küçücük bir ε oranını kazanmayı hedefliyor, bunu neredeyse her seferinde kazanıyor; nadir kayıpta ise tüm parasını artı borcu riske atıyor.

×1.000 için ikide bir şans

Yazar, bu stratejinin şuna yaklaşan bir olasılıkla başarılı olduğunu kanıtlıyor:

m^(−1/L)

— hedef kat, eksi bir bölü kaldıraç üssüyle — ve hiçbir stratejinin daha iyisini yapamayacağını. Kanıt aynı isteğe bağlı durdurma teoremini kullanıyor, ama Alice’in servetine değil, onun L’inci köküne uygulayarak; bu, ortalamada yalnızca aşağı doğru kayabilen bir nicelik.

Rakamlar çarpıcı. Lehman’ınkinden düşük, 10 kat kaldıraçla, hiç iflas etmeden paranızı 1.000 katına çıkarma şansı yaklaşık %50, çünkü 1,000^(−1/10) ≈ 0.5. Daha genel olarak, L kaldıraçla, yazı tura şansı size 2 üzeri L kat getirir. 20 kaldıraçla bu yaklaşık bir milyon eder.

Kim iflas ediyor

Lehman’a dönelim. 20’nin üzerinde kaldıraçla oyuncak model, sekiz kat büyümenin o kadar da etkileyici olmadığını söylüyor: yalnızca adil bahislerle bile olasılığı yaklaşık 8^(−1/20) ≈ %90. Borç elbette bedava değil; Lehman yılda yaklaşık %5 faiz ödediğini tahmin ediyordu. Faizi oyuna katmak, faiz oranı 1 bölü kaldıraçtan düşük kaldığı sürece sonucu değiştirmiyor.

Kuszmaul bunun, rastgele algoritmalar dersi için yazılmış bir oyuncak model olduğunu ve gerçek dünya finansını yakaladığını iddia etmediğini açıkça belirtiyor. Dersi daha dar ve daha keskin: muhteşem bir kâr serisi, iyi bahislerin kanıtı değildir. Yeterli kaldıraçla adil bahisler yüksek olasılıkla bir servet kurabilir — ve nadir kayıp geldiğinde sıfırın çok altına, kumarbazdan başka birinin üzerine düşer.