CON DINERO PRESTADO, EL JUGADOR GANA UNA DE CADA DOS VECES
Imaginemos una «empresa financiera» en su forma más simple. Empieza con algo de dinero y quiere multiplicarlo por un factor r. Solo puede hacer apuestas justas —apuestas cuya ganancia media es cero— y no puede arriesgar más de lo que tiene en cada momento. Sigue apostando hasta alcanzar su objetivo o quebrar.
La teoría de la probabilidad da una respuesta firme: no hay manera de obtener beneficios en promedio. Un resultado clásico, el teorema de parada opcional, limita la probabilidad de alcanzar r veces el dinero inicial antes de arruinarse a 1 entre r. ¿Quieres multiplicar tu apuesta por 1000? Tus probabilidades son como mucho de una entre mil. Es lo que se conoce como la ruina del jugador.
El enigma de Lehman
William Kuszmaul, informático de la Universidad Carnegie Mellon, empieza su breve nota con un caso real. De 1995 a 2008, Lehman Brothers Holdings multiplicó su patrimonio neto aproximadamente por 8, de unos 3400 millones de dólares a unos 26 000 millones. Con apuestas justas y sin endeudarse, eso debería haber ocurrido con una probabilidad de como mucho 1 entre 8, aproximadamente.
Pero había una trampa. Cuando Lehman quebró en 2008, no valía cero dólares: valía aproximadamente menos 150 000 millones de dólares. Con sus unos 26 000 millones, había pedido prestados unos 640 000 millones para apostar. Durante todo el periodo, su ratio de apalancamiento —activos totales divididos por patrimonio neto— se mantuvo entre 20 y 40. Arriesgaba una y otra vez mucho más de lo que tenía. El autor añade que su comparación ignora muchos factores, como el crecimiento general de la bolsa y el nuevo capital aportado por los accionistas.
El juego del apalancamiento
La nota convierte esto en un juego preciso. Una jugadora, Alice, empieza con 1 $ y aspira a m dólares. Toda apuesta debe ser justa, pero antes de cada una puede pedir prestado hasta L − 1 veces lo que tiene, de modo que puede perder hasta L veces su propio dinero. El juego termina cuando alcanza su objetivo o cae a cero o por debajo.
El movimiento obvio, una gran apuesta por todo el objetivo, sale mal. Duplicar el dinero una y otra vez funciona mejor. La lección es crecer despacio, para que cada ganancia le dé más con que apalancarse la vez siguiente. La mejor estrategia lleva esto al límite: en cada apuesta, Alice intenta ganar solo una diminuta fracción ε de su dinero, cosa que consigue casi siempre, mientras arriesga todo su capital más el préstamo en la rara pérdida.
Una probabilidad entre dos de multiplicar por 1000
El autor demuestra que esta estrategia tiene éxito con una probabilidad que se aproxima a
m^(−1/L)
—el múltiplo objetivo elevado a menos uno partido por el apalancamiento— y que ninguna estrategia puede hacerlo mejor. La demostración usa el mismo teorema de parada opcional, aplicado no a la fortuna de Alice sino a su raíz L-ésima, una cantidad que en promedio solo puede derivar hacia abajo.
Las cifras son llamativas. Con un apalancamiento de 10, menor que el de Lehman, la probabilidad de multiplicar el dinero por 1000 sin quebrar nunca es de alrededor del 50 %, ya que 1000^(−1/10) ≈ 0,5. De forma más general, con un apalancamiento L, una probabilidad de cara o cruz permite multiplicar el dinero por 2 elevado a L. Con un apalancamiento de 20, eso es alrededor de un millón.
Quién se arruina
Volvamos a Lehman. Con un apalancamiento superior a 20, el modelo de juguete dice que crecer ocho veces no era tan impresionante: tenía una probabilidad de alrededor de 8^(−1/20) ≈ 90 %, incluso con apuestas simplemente justas. Pedir prestado no es gratis, por supuesto; Lehman calculaba que pagaba alrededor de un 5 % anual de intereses. Incluir los intereses en el juego no cambia la conclusión, siempre que el tipo de interés se mantenga por debajo de 1 partido por el apalancamiento.
Kuszmaul deja claro que se trata de un modelo de juguete, escrito para su curso de algoritmos aleatorizados, y que no pretende reflejar las finanzas reales. Su lección es más estrecha y más afilada: una racha espectacular de beneficios no prueba que las apuestas fueran buenas. Con suficiente apalancamiento, las apuestas justas pueden construir una fortuna con alta probabilidad, y cuando llega la rara pérdida, cae muy por debajo de cero, sobre alguien que no es el jugador.