借钱下注，赌徒有一半的机会赢

想象一家最简单形式的“金融公司”。它起初有一些钱，想把它变成r倍。它只能下公平的赌注——平均收益为零的赌注——而且下注不能超过它当前拥有的钱。它不停地下注，直到达到目标或者破产。

概率论给出了明确的答案：平均而言不可能盈利。一个经典结果——可选停止定理——把在破产前达到初始资金r倍的概率上限定为r分之一。想把本金变成1000倍？你的胜算最多是千分之一。这就是所谓的赌徒破产。

雷曼之谜

卡内基梅隆大学的计算机科学家William Kuszmaul用一个真实案例开始了他的这篇短文。从1995年到2008年，雷曼兄弟控股公司的股东权益大约增长了8倍，从约34亿美元增加到约260亿美元。如果只下公平赌注又不借钱，发生这种事的概率最多只有约八分之一。

但这里有个玄机。当雷曼在2008年破产时，它的价值并不是零美元，而是大约负1500亿美元。凭借约260亿美元，它借了大约6400亿美元来下注。在整个这段时期，它的杠杆率——总资产除以股东权益——一直保持在20到40之间。它一次又一次地押上远多于自己所拥有的钱。作者补充说，他的比较忽略了许多因素，比如股市的整体增长以及从股东那里新募集的资本。

杠杆游戏

这篇短文把这一情形变成了一个精确的游戏。玩家Alice从1美元起步，目标是m美元。每次下注都必须公平，但在每次下注前，她可以借入最多为自有资金L − 1倍的钱，因此她最多可能输掉自有资金的L倍。当她达到目标，或者资金降到零或零以下时，游戏结束。

最显而易见的做法——一次性大额下注直达目标——效果很差。一次又一次地把钱翻倍效果更好。其中的道理是慢慢增长，这样每次赢钱都让她下一次有更多资金可以加杠杆。最优策略把这一点推向极致：每次下注，Alice只求赢得自有资金的极小一部分ε，这几乎每次都能赢；而在罕见的输局中，她押上的是全部本金加上借款。

二分之一的机会变成1000倍

作者证明，这一策略成功的概率趋近于

m^(−1/L)

——目标倍数的负“杠杆分之一”次方——并且没有任何策略能做得更好。证明用的还是可选停止定理，只不过不是用在Alice的财富本身上，而是用在它的L次方根上，这个量平均而言只会向下漂移。

数字令人惊讶。在10倍杠杆下（比雷曼的杠杆还低），把钱变成1000倍而从不破产的概率约为50%，因为1000^(−1/10) ≈ 0.5。更一般地说，在杠杆L下，掷硬币般的机会能让你的钱变成2的L次方倍。杠杆为20时，那大约是一百万倍。

谁会破产

回到雷曼。在超过20倍的杠杆下，这个玩具模型表明，增长八倍并不怎么了不起：即使下的只是公平赌注，其概率也约为8^(−1/20) ≈ 90%。当然，借钱不是免费的；雷曼估计它每年支付约5%的利息。把利息纳入游戏并不会改变结论，只要利率保持在杠杆的倒数以下。

Kuszmaul明确表示，这是一个为他的随机算法课程而写的玩具模型，并不声称能刻画真实世界的金融。它的教训更窄，也更尖锐：一连串惊人的盈利并不能证明赌注下得好。只要杠杆足够高，公平的赌注就能以很高的概率积累起一笔财富——而当那罕见的损失到来时，它会落到远低于零的地方，砸在赌徒以外的某个人身上。