ادھار کے پیسے سے جواری ہر دو میں سے ایک بار جیتتا ہے

ایک “مالیاتی کمپنی” کو اس کی سادہ ترین شکل میں تصور کریں۔ یہ کچھ رقم سے شروع کرتی ہے اور اسے r گنا کرنا چاہتی ہے۔ یہ صرف منصفانہ شرطیں لگا سکتی ہے — ایسی شرطیں جن کا اوسط منافع صفر ہو — اور جتنا اس کے پاس اس وقت ہے اس سے زیادہ خطرے میں نہیں ڈال سکتی۔ یہ شرطیں لگاتی رہتی ہے یہاں تک کہ اپنا ہدف حاصل کر لے یا دیوالیہ ہو جائے۔

نظریۂ امکان ایک پختہ جواب دیتا ہے: اوسطاً منافع کمانے کا کوئی طریقہ نہیں۔ ایک کلاسیکی نتیجہ، اختیاری توقف کا مسئلہ (optional stopping theorem)، کنگال ہونے سے پہلے ابتدائی رقم کا r گنا حاصل کرنے کے امکان کو زیادہ سے زیادہ r میں 1 تک محدود کرتا ہے۔ اپنی رقم 1,000 گنا کرنا چاہتے ہیں؟ آپ کا امکان زیادہ سے زیادہ ہزار میں ایک ہے۔ اسے جواری کی تباہی (gambler’s ruin) کہا جاتا ہے۔

لیہمن کا معمہ

کارنیگی میلن یونیورسٹی کے کمپیوٹر سائنسدان ولیم کُسماؤل اپنے مختصر نوٹ کا آغاز ایک حقیقی مثال سے کرتے ہیں۔ 1995 سے 2008 تک لیہمن برادرز ہولڈنگز نے اپنے حصص داروں کی ایکویٹی کو تقریباً 8 گنا کیا، تقریباً $3.4 ارب سے تقریباً $26 ارب تک۔ منصفانہ شرطوں اور بغیر ادھار کے، ایسا زیادہ سے زیادہ تقریباً 8 میں 1 کے امکان سے ہونا چاہیے تھا۔

لیکن ایک پیچ تھا۔ جب لیہمن 2008 میں دیوالیہ ہوا تو اس کی مالیت صفر ڈالر نہیں تھی: یہ تقریباً منفی $150 ارب تھی۔ اپنے تقریباً $26 ارب کے ساتھ اس نے شرط لگانے کے لیے تقریباً $640 ارب ادھار لیے تھے۔ پورے عرصے میں اس کا لیوریج تناسب — کل اثاثے تقسیم ایکویٹی — 20 اور 40 کے درمیان رہا۔ یہ بار بار اپنی حیثیت سے کہیں زیادہ خطرہ مول لے رہا تھا۔ مصنف یہ بھی کہتے ہیں کہ ان کا موازنہ بہت سے عوامل کو نظرانداز کرتا ہے، جیسے اسٹاک مارکیٹ کی عمومی ترقی اور حصص داروں سے حاصل کیا گیا نیا سرمایہ۔

لیوریج کا کھیل

یہ نوٹ اسے ایک واضح کھیل میں بدل دیتا ہے۔ ایک کھلاڑی، ایلس، $1 سے شروع کرتی ہے اور m ڈالر کا ہدف رکھتی ہے۔ ہر شرط منصفانہ ہونی چاہیے، لیکن ہر شرط سے پہلے وہ اپنے پاس موجود رقم کا L − 1 گنا تک ادھار لے سکتی ہے، یوں وہ اپنی رقم کا L گنا تک ہار سکتی ہے۔ کھیل اس وقت ختم ہوتا ہے جب وہ اپنا ہدف پا لے یا صفر یا اس سے نیچے گر جائے۔

واضح چال، یعنی پورے ہدف کے لیے ایک بڑی شرط، بُرا نتیجہ دیتی ہے۔ اپنی رقم کو بار بار دگنا کرنا بہتر رہتا ہے۔ سبق یہ ہے کہ آہستہ آہستہ بڑھا جائے، تاکہ ہر جیت اسے اگلی بار لیوریج کے لیے زیادہ رقم دے۔ بہترین حکمتِ عملی اسے انتہا تک لے جاتی ہے: ہر شرط پر ایلس اپنی رقم کا صرف ایک ننھا سا حصہ ε جیتنے کا ہدف رکھتی ہے، جو وہ تقریباً ہر بار جیت جاتی ہے، جبکہ شاذ و نادر ہونے والی ہار پر اپنی پوری رقم اور قرض داؤ پر لگا دیتی ہے۔

×1,000 کے لیے دو میں ایک موقع

مصنف ثابت کرتے ہیں کہ یہ حکمتِ عملی اس امکان سے کامیاب ہوتی ہے جو اس کے قریب پہنچتا ہے:

m^(−1/L)

— ہدف کا ضربی عدد، جس کی طاقت منفی ایک تقسیم لیوریج ہو — اور یہ کہ کوئی حکمتِ عملی اس سے بہتر نہیں ہو سکتی۔ ثبوت اسی اختیاری توقف کے مسئلے کو استعمال کرتا ہے، لیکن ایلس کی دولت پر نہیں بلکہ اس کے L ویں جذر پر، جو ایک ایسی مقدار ہے جو اوسطاً صرف نیچے ہی سرک سکتی ہے۔

اعداد حیران کن ہیں۔ 10 کے لیوریج کے ساتھ، جو لیہمن سے کم ہے، کبھی دیوالیہ ہوئے بغیر اپنی رقم کو 1,000 گنا کرنے کا امکان تقریباً 50% ہے، کیونکہ 1,000^(−1/10) ≈ 0.5۔ عمومی طور پر، L کے لیوریج کے ساتھ سکہ اچھالنے جتنا امکان آپ کو 2 کی طاقت L کا ضربی عدد دیتا ہے۔ 20 کے لیوریج پر یہ تقریباً دس لاکھ ہے۔

تباہ کون ہوتا ہے

واپس لیہمن کی طرف۔ 20 سے زیادہ لیوریج کے ساتھ، یہ سادہ ماڈل کہتا ہے کہ آٹھ گنا ترقی کوئی بہت متاثر کن بات نہیں تھی: محض منصفانہ شرطوں کے ساتھ بھی اس کا امکان تقریباً 8^(−1/20) ≈ 90% تھا۔ ادھار مفت نہیں ہوتا؛ لیہمن کے اندازے کے مطابق وہ سالانہ تقریباً 5% سود ادا کرتا تھا۔ کھیل میں سود شامل کرنے سے نتیجہ نہیں بدلتا، بشرطیکہ شرحِ سود 1 تقسیم لیوریج سے کم رہے۔

کُسماؤل واضح کرتے ہیں کہ یہ ایک سادہ ماڈل ہے، جو ان کے رینڈمائزڈ الگورتھمز کے کورس کے لیے لکھا گیا، اور یہ حقیقی دنیا کے مالیاتی نظام کی عکاسی کا دعویٰ نہیں کرتا۔ اس کا سبق محدود مگر زیادہ تیز ہے: منافع کا شاندار سلسلہ اچھی شرطوں کا ثبوت نہیں۔ کافی لیوریج کے ساتھ منصفانہ شرطیں بھی زیادہ امکان کے ساتھ دولت کھڑی کر سکتی ہیں — اور جب وہ شاذ و نادر نقصان آتا ہے تو وہ صفر سے کہیں نیچے گرتا ہے، جواری کے بجائے کسی اور پر۔