با پول قرضی، قمارباز از هر دو بار یک بار می‌برد

یک «شرکت مالی» را در ساده‌ترین شکلش تصور کنید. با مقداری پول آغاز می‌کند و می‌خواهد آن را r برابر کند. فقط می‌تواند شرط‌های منصفانه ببندد — شرط‌هایی که میانگین سودشان صفر است — و نمی‌تواند بیش از آنچه اکنون دارد را به خطر بیندازد. آن‌قدر شرط می‌بندد تا به هدفش برسد یا ورشکست شود.

نظریهٔ احتمال پاسخی قاطع می‌دهد: هیچ راهی برای سود بردن به‌طور میانگین وجود ندارد. یک نتیجهٔ کلاسیک، قضیهٔ توقف اختیاری (optional stopping theorem)، شانس رسیدن به r برابر پول اولیه پیش از ورشکستگی را به 1 در r محدود می‌کند. می‌خواهید سرمایه‌تان را 1,000 برابر کنید؟ شانستان حداکثر یک در هزار است. این را ورشکستگی قمارباز (gambler’s ruin) می‌نامند.

معمای لمان

William Kuszmaul، دانشمند علوم رایانه در دانشگاه کارنگی ملون، یادداشت کوتاهش را با یک نمونهٔ واقعی آغاز می‌کند. از 1995 تا 2008، لمان برادرز هولدینگز حقوق صاحبان سهامش را تقریباً 8 برابر کرد، از حدود 3.4 میلیارد دلار به حدود 26 میلیارد دلار. با شرط‌های منصفانه و بدون قرض، این باید حداکثر با احتمالی حدود 1 در 8 رخ می‌داد.

اما یک نکته در کار بود. وقتی لمان در 2008 ورشکست شد، ارزشش صفر دلار نبود: حدود منفی 150 میلیارد دلار بود. با حدود 26 میلیارد دلارش، نزدیک به 640 میلیارد دلار برای شرط‌بندی قرض گرفته بود. در سراسر این دوره، نسبت اهرمی‌اش — کل دارایی‌ها تقسیم بر حقوق صاحبان سهام — میان 20 و 40 ماند. بارها و بارها بسیار بیش از آنچه داشت را به خطر می‌انداخت. نویسنده می‌افزاید که مقایسه‌اش عوامل بسیاری را نادیده می‌گیرد، مانند رشد کلی بازار سهام و سرمایهٔ تازه‌ای که از سهامداران جمع شد.

بازی اهرم

یادداشت این را به یک بازی دقیق تبدیل می‌کند. بازیکنی به نام Alice با 1 دلار آغاز می‌کند و هدفش m دلار است. هر شرط باید منصفانه باشد، اما پیش از هر شرط می‌تواند تا L − 1 برابر دارایی‌اش قرض بگیرد، پس می‌تواند تا L برابر پول خودش ببازد. بازی وقتی تمام می‌شود که به هدفش برسد یا به صفر یا زیر آن سقوط کند.

حرکت بدیهی، یعنی یک شرط بزرگ برای کل هدف، نتیجهٔ بدی دارد. دو برابر کردن پول بارها و بارها بهتر است. درس این است که آرام رشد کنی، تا هر برد پول بیشتری برای اهرم کردن در دفعهٔ بعد فراهم کند. بهترین راهبرد این را به حد نهایی می‌رساند: در هر شرط، Alice تنها کسری بسیار کوچک ε از پولش را هدف می‌گیرد، که تقریباً هر بار می‌برد، در حالی که در باخت نادر، کل سرمایه‌اش به‌علاوهٔ قرض را به خطر می‌اندازد.

یک شانس از دو برای ×1,000

نویسنده ثابت می‌کند که این راهبرد با احتمالی موفق می‌شود که به

m^(−1/L)

نزدیک می‌شود — مضرب هدف به توان منفی یک تقسیم بر اهرم — و اینکه هیچ راهبردی نمی‌تواند بهتر عمل کند. اثبات از همان قضیهٔ توقف اختیاری بهره می‌گیرد، اما نه روی ثروت Alice بلکه روی ریشهٔ L-امِ آن، کمیتی که به‌طور میانگین تنها می‌تواند رو به پایین برود.

اعداد چشمگیرند. با اهرم 10، کمتر از اهرم لمان، شانس 1,000 برابر کردن پول بی‌آنکه هرگز ورشکست شوید حدود 50% است، چون 1,000^(−1/10) ≈ 0.5. به‌طور کلی‌تر، با اهرم L، شانسی برابر شیر یا خط ضریبی برابر 2 به توان L نصیبتان می‌کند. با اهرم 20، این حدود یک میلیون است.

چه کسی ورشکست می‌شود

بازگردیم به لمان. با اهرمی بیش از 20، این مدل اسباب‌بازی می‌گوید رشد هشت‌برابری چندان چشمگیر نبود: احتمالش حدود 8^(−1/20) ≈ 90% بود، حتی با شرط‌هایی که صرفاً منصفانه بودند. البته قرض رایگان نیست؛ لمان برآورد می‌کرد سالانه حدود 5% بهره می‌پردازد. وارد کردن بهره در بازی نتیجه را تغییر نمی‌دهد، تا زمانی که نرخ بهره کمتر از 1 تقسیم بر اهرم بماند.

Kuszmaul روشن می‌گوید که این یک مدل اسباب‌بازی است که برای درس الگوریتم‌های تصادفی‌اش نوشته، و ادعا نمی‌کند مالیهٔ دنیای واقعی را بازنمایی می‌کند. درس آن محدودتر و تیزتر است: یک دورهٔ سودهای خیره‌کننده دلیل شرط‌های خوب نیست. با اهرم کافی، شرط‌های منصفانه می‌توانند با احتمال بالا ثروتی بسازند — و وقتی باخت نادر از راه می‌رسد، بسیار پایین‌تر از صفر فرود می‌آید، بر سر کسی جز قمارباز.