COM DINHEIRO EMPRESTADO, O APOSTADOR GANHA UMA VEZ EM CADA DUAS
Imagine uma “empresa financeira” na sua forma mais simples. Ela começa com algum dinheiro e quer multiplicá-lo por um fator r. Só pode fazer apostas justas — apostas cujo ganho médio é zero — e não pode arriscar mais do que tem no momento. Ela continua apostando até atingir sua meta ou ir à falência.
A teoria das probabilidades dá uma resposta firme: não há como ter lucro em média. Um resultado clássico, o teorema da parada opcional, limita a chance de chegar a r vezes o dinheiro inicial antes de quebrar a 1 em r. Quer multiplicar sua aposta por 1.000? Suas chances são de no máximo uma em mil. Isso é conhecido como a ruína do apostador.
O enigma do Lehman
William Kuszmaul, cientista da computação da Universidade Carnegie Mellon, começa sua breve nota com um caso real. De 1995 a 2008, o Lehman Brothers Holdings multiplicou seu patrimônio líquido por cerca de 8, de aproximadamente $3,4 bilhões para aproximadamente $26 bilhões. Com apostas justas e sem empréstimos, isso deveria ter acontecido com uma probabilidade de no máximo cerca de 1 em 8.
Mas havia um detalhe. Quando o Lehman faliu em 2008, não valia zero dólar: valia cerca de menos $150 bilhões. Com seus cerca de $26 bilhões, tinha tomado emprestados por volta de $640 bilhões para apostar. Durante todo o período, seu índice de alavancagem — ativos totais divididos pelo patrimônio líquido — ficou entre 20 e 40. Ele arriscava repetidamente muito mais do que tinha. O autor acrescenta que sua comparação ignora muitos fatores, como o crescimento geral da bolsa e o novo capital captado junto aos acionistas.
O jogo da alavancagem
A nota transforma isso num jogo preciso. Uma jogadora, Alice, começa com $1 e mira m dólares. Toda aposta deve ser justa, mas antes de cada uma ela pode pegar emprestado até L − 1 vezes o que tem, de modo que pode perder até L vezes o seu próprio dinheiro. O jogo termina quando ela atinge a meta ou cai a zero ou abaixo.
O lance óbvio, uma única grande aposta pela meta inteira, se sai mal. Dobrar o dinheiro repetidas vezes se sai melhor. A lição é crescer devagar, para que cada vitória lhe dê mais para alavancar na vez seguinte. A melhor estratégia leva isso ao limite: em cada aposta, Alice busca ganhar apenas uma fração minúscula ε do seu dinheiro, o que ela consegue quase sempre, enquanto arrisca todo o seu capital mais o empréstimo na rara derrota.
Uma chance em duas de ×1.000
O autor prova que essa estratégia tem sucesso com uma probabilidade que se aproxima de
m^(−1/L)
— o múltiplo-alvo elevado à potência menos um sobre a alavancagem — e que nenhuma estratégia pode fazer melhor. A prova usa o mesmo teorema da parada opcional, aplicado não à fortuna de Alice, mas à sua raiz de ordem L, uma grandeza que só pode derivar para baixo em média.
Os números impressionam. Com alavancagem de 10, menor que a do Lehman, a chance de multiplicar seu dinheiro por 1.000 sem nunca ir à falência é de cerca de 50%, já que 1.000^(−1/10) ≈ 0,5. De modo mais geral, com alavancagem L, uma chance de cara ou coroa leva a um fator de 2 elevado a L. Com alavancagem 20, isso dá cerca de um milhão.
Quem é arruinado
De volta ao Lehman. Com alavancagem acima de 20, o modelo simplificado diz que um crescimento de oito vezes não era tão impressionante: tinha cerca de 8^(−1/20) ≈ 90% de probabilidade, mesmo com apostas apenas justas. Tomar emprestado não é de graça, claro; o Lehman estimava pagar cerca de 5% ao ano em juros. Incluir os juros no jogo não muda a conclusão, desde que a taxa de juros fique abaixo de 1 sobre a alavancagem.
Kuszmaul deixa claro que se trata de um modelo simplificado, escrito para seu curso de algoritmos aleatorizados, e que não pretende captar as finanças do mundo real. Sua lição é mais estreita e mais afiada: uma sequência espetacular de lucros não prova que as apostas eram boas. Com alavancagem suficiente, apostas justas podem construir uma fortuna com alta probabilidade — e, quando a rara perda chega, ela cai muito abaixo de zero, sobre alguém que não é o apostador.