DENGAN UANG PINJAMAN, PENJUDI MENANG SATU DARI DUA KALI

Bayangkan sebuah “perusahaan keuangan” dalam bentuknya yang paling sederhana. Perusahaan ini mulai dengan sejumlah uang dan ingin melipatgandakannya dengan faktor r. Ia hanya boleh melakukan taruhan adil — taruhan yang rata-rata keuntungannya nol — dan tidak boleh mempertaruhkan lebih dari yang dimilikinya saat itu. Ia terus bertaruh sampai mencapai targetnya atau bangkrut.

Teori probabilitas memberi jawaban tegas: tidak ada cara untuk meraih untung secara rata-rata. Sebuah hasil klasik, teorema penghentian opsional (optional stopping theorem), membatasi peluang mencapai r kali uang awal sebelum bangkrut paling banyak 1 banding r. Ingin melipatgandakan modal 1.000 kali? Peluang Anda paling banyak satu banding seribu. Ini dikenal sebagai kebangkrutan penjudi (gambler’s ruin).

Teka-teki Lehman

William Kuszmaul, ilmuwan komputer di Universitas Carnegie Mellon, membuka catatan singkatnya dengan sebuah kasus nyata. Dari 1995 hingga 2008, Lehman Brothers Holdings melipatgandakan ekuitas pemegang sahamnya sekitar 8 kali, dari sekitar $3,4 miliar menjadi sekitar $26 miliar. Dengan taruhan adil dan tanpa pinjaman, hal itu seharusnya terjadi dengan probabilitas paling banyak sekitar 1 banding 8.

Tetapi ada satu hal. Ketika Lehman bangkrut pada 2008, nilainya bukan nol dolar: nilainya sekitar minus $150 miliar. Dengan sekitar $26 miliar miliknya, Lehman telah meminjam sekitar $640 miliar untuk bertaruh. Selama seluruh periode itu, rasio leverage-nya — total aset dibagi ekuitas — tetap di antara 20 dan 40. Lehman berulang kali mempertaruhkan jauh lebih banyak daripada yang dimilikinya. Penulis menambahkan bahwa perbandingannya mengabaikan banyak faktor, seperti pertumbuhan umum pasar saham dan modal baru yang dihimpun dari pemegang saham.

Permainan leverage

Catatan ini mengubahnya menjadi permainan yang presisi. Seorang pemain, Alice, mulai dengan $1 dan menargetkan m dolar. Setiap taruhan harus adil, tetapi sebelum setiap taruhan ia boleh meminjam hingga L − 1 kali dari yang dimilikinya, sehingga ia bisa kehilangan hingga L kali uangnya sendiri. Permainan berakhir ketika ia mencapai target atau jatuh ke nol atau di bawahnya.

Langkah yang tampak jelas, satu taruhan besar untuk seluruh target, hasilnya buruk. Menggandakan uang berkali-kali hasilnya lebih baik. Pelajarannya adalah tumbuh perlahan, agar setiap kemenangan memberinya lebih banyak untuk di-leverage pada kesempatan berikutnya. Strategi terbaik membawa ini ke batasnya: di setiap taruhan, Alice hanya menargetkan keuntungan sepersekian kecil ε dari uangnya, yang hampir selalu ia menangkan, sambil mempertaruhkan seluruh modalnya ditambah pinjaman pada kekalahan yang jarang terjadi.

Satu banding dua untuk ×1.000

Penulis membuktikan bahwa strategi ini berhasil dengan probabilitas yang mendekati

m^(−1/L)

— kelipatan target dipangkatkan minus satu per leverage — dan bahwa tidak ada strategi yang bisa lebih baik. Buktinya menggunakan teorema penghentian opsional yang sama, yang diterapkan bukan pada kekayaan Alice, melainkan pada akar pangkat L-nya, suatu besaran yang secara rata-rata hanya bisa menurun.

Angka-angkanya mencengangkan. Dengan leverage 10, lebih kecil dari Lehman, peluang melipatgandakan uang Anda 1.000 kali tanpa pernah bangkrut adalah sekitar 50%, karena 1.000^(−1/10) ≈ 0,5. Lebih umum, dengan leverage L, peluang lempar koin memberi Anda faktor 2 pangkat L. Dengan leverage 20, itu sekitar satu juta.

Siapa yang bangkrut

Kembali ke Lehman. Dengan leverage di atas 20, model mainan ini mengatakan bahwa pertumbuhan delapan kali lipat tidaklah terlalu mengesankan: peluangnya sekitar 8^(−1/20) ≈ 90%, bahkan dengan taruhan yang sekadar adil. Meminjam tentu tidak gratis; Lehman memperkirakan membayar bunga sekitar 5% per tahun. Memasukkan bunga ke dalam permainan tidak mengubah kesimpulannya, selama suku bunga tetap di bawah 1 per leverage.

Kuszmaul menegaskan bahwa ini adalah model mainan, ditulis untuk mata kuliah algoritma acaknya, dan tidak mengklaim menggambarkan keuangan dunia nyata. Pelajarannya lebih sempit dan lebih tajam: serangkaian keuntungan yang spektakuler bukanlah bukti taruhan yang bagus. Dengan leverage yang cukup, taruhan adil bisa membangun kekayaan dengan probabilitas tinggi — dan ketika kerugian langka itu datang, jatuhnya jauh di bawah nol, menimpa orang lain selain si penjudi.