AVEC DE L'ARGENT EMPRUNTÉ, LE JOUEUR GAGNE UNE FOIS SUR DEUX

Imaginez une « société financière » dans sa forme la plus simple. Elle part d’une certaine somme et veut la multiplier par un facteur r. Elle ne peut faire que des paris équitables — des paris dont le gain moyen est nul — et ne peut pas risquer plus que ce qu’elle possède. Elle parie jusqu’à atteindre son objectif ou faire faillite.

La théorie des probabilités donne une réponse ferme : impossible de faire un profit en moyenne. Un résultat classique, le théorème d’arrêt optionnel, plafonne la chance d’atteindre r fois sa mise de départ avant la faillite à 1 sur r. Vous voulez multiplier votre mise par 1 000 ? Vos chances sont au plus d’une sur mille. C’est ce qu’on appelle la ruine du joueur.

L’énigme Lehman

William Kuszmaul, informaticien à l’université Carnegie Mellon, ouvre sa courte note sur un cas réel. De 1995 à 2008, Lehman Brothers Holdings a multiplié ses capitaux propres par environ 8, d’environ 3,4 milliards de dollars à environ 26 milliards. Avec des paris équitables et sans emprunt, cela n’aurait dû arriver qu’avec une probabilité d’au plus 1 sur 8 environ.

Mais il y avait un piège. Quand Lehman a fait faillite en 2008, elle ne valait pas zéro dollar : elle valait environ moins 150 milliards de dollars. Avec ses quelque 26 milliards, elle en avait emprunté environ 640 pour parier. Sur toute la période, son ratio de levier — total des actifs divisé par les capitaux propres — est resté entre 20 et 40. Elle risquait sans cesse bien plus que ce qu’elle avait. L’auteur précise que sa comparaison ignore de nombreux facteurs, comme la croissance générale de la Bourse et l’argent frais levé auprès des actionnaires.

Le jeu du levier

La note transforme cela en un jeu précis. Une joueuse, Alice, part de 1 dollar et vise m dollars. Chaque pari doit être équitable, mais avant chacun elle peut emprunter jusqu’à L − 1 fois ce qu’elle possède : elle peut donc perdre jusqu’à L fois son propre argent. Le jeu s’arrête quand elle atteint son objectif ou tombe à zéro ou en dessous.

Le réflexe évident, un seul gros pari pour tout l’objectif, donne un mauvais résultat. Doubler sa mise encore et encore fait mieux. La leçon : grossir lentement, pour que chaque gain lui donne davantage à mettre en levier la fois suivante. La meilleure stratégie pousse cette idée à l’extrême : à chaque pari, Alice ne vise qu’une infime fraction ε de son argent, qu’elle gagne presque à chaque fois, en risquant toute sa mise plus l’emprunt lors de la rare perte.

Une chance sur deux de faire ×1 000

L’auteur prouve que cette stratégie réussit avec une probabilité qui tend vers

m^(−1/L)

— le multiple visé élevé à la puissance moins un sur le levier — et qu’aucune stratégie ne peut faire mieux. La preuve utilise le même théorème d’arrêt optionnel, appliqué non pas à la fortune d’Alice mais à sa racine L-ième, une quantité qui ne peut que baisser en moyenne.

Les chiffres frappent. Avec un levier de 10, moins que celui de Lehman, la chance de multiplier son argent par 1 000 sans jamais faire faillite est d’environ 50 %, puisque 1 000^(−1/10) ≈ 0,5. Plus généralement, avec un levier L, une chance sur deux permet de multiplier sa mise par 2 puissance L. Avec un levier de 20, cela fait environ un million.

Qui est ruiné

Retour à Lehman. Avec un levier supérieur à 20, le modèle jouet dit qu’une croissance de huit fois n’avait rien de si impressionnant : environ 8^(−1/20) ≈ 90 % de chances, même avec des paris simplement équitables. Emprunter n’est pas gratuit, bien sûr ; Lehman estimait payer environ 5 % d’intérêts par an. Ajouter les intérêts au jeu ne change pas la conclusion, tant que le taux reste inférieur à 1 divisé par le levier.

Kuszmaul le dit clairement : c’est un modèle jouet, écrit pour son cours d’algorithmes randomisés, qui ne prétend pas décrire la finance réelle. Sa leçon est plus étroite et plus tranchante : une série spectaculaire de profits ne prouve pas que les paris étaient bons. Avec assez de levier, des paris équitables peuvent bâtir une fortune avec une forte probabilité — et quand la rare perte arrive, elle tombe bien en dessous de zéro, sur quelqu’un d’autre que le joueur.