ادھار دے پیسیاں نال، جواری دو وچوں اک واری جت جاندا اے

اک “مالیاتی کمپنی” نوں اوہدی سب توں سادی شکل وچ سوچو۔ اوہ کجھ پیسیاں نال شروع کردی اے تے اوہناں نوں r گنا کرنا چاہندی اے۔ اوہ صرف منصفانہ داء لا سکدی اے — اوہ داء جنہاں دا اوسط فائدہ صفر ہوندا اے — تے جو اوہدے کول ہن اے اوہدے توں ودھ خطرے وچ نہیں پا سکدی۔ اوہ داء لاندی رہندی اے جدوں تیک اپنے ٹیچے تیک نہ اپڑ جاوے یاں دیوالیہ نہ ہو جاوے۔

احتمال دا نظریہ پکا جواب دیندا اے: اوسط وچ منافع کمان دا کوئی طریقہ نہیں۔ اک کلاسیکی نتیجہ، اختیاری روک دا مسئلہ (optional stopping theorem)، دیوالیہ ہون توں پہلاں شروعاتی رقم دے r گنا تیک اپڑن دے موقعے نوں r وچوں 1 تیک محدود کردا اے۔ اپنی رقم 1,000 گنا کرنی اے؟ تہاڈا موقع ودھ توں ودھ ہزار وچوں اک اے۔ ایہنوں جواری دی تباہی (gambler’s ruin) آکھدے نیں۔

Lehman دی بجھارت

Carnegie Mellon یونیورسٹی دے کمپیوٹر سائنس دان William Kuszmaul اپنا چھوٹا جیہا نوٹ اک اصلی واقعے نال شروع کردے نیں۔ 1995 توں 2008 تیک، Lehman Brothers Holdings نے اپنے حصے داراں دی ایکویٹی موٹے طور تے 8 گنا کر دتی، لگ بھگ 3.4 ارب ڈالر توں لگ بھگ 26 ارب ڈالر تیک۔ منصفانہ داواں نال تے ادھار بغیر، ایہہ ودھ توں ودھ لگ بھگ 8 وچوں 1 دے احتمال نال ہونا چاہیدا سی۔

پر اک گل سی۔ جدوں Lehman 2008 وچ دیوالیہ ہوئی، اوہدی قیمت صفر ڈالر نہیں سی: ایہہ لگ بھگ منفی 150 ارب ڈالر سی۔ اپنے لگ بھگ 26 ارب ڈالر نال، اوہنے داء لان لئی تقریباً 640 ارب ڈالر ادھار لئے سن۔ پورے عرصے وچ، اوہدا لیوریج تناسب — کل اثاثے تقسیم ایکویٹی — 20 تے 40 وچکار رہیا۔ اوہ بار بار اپنی ملکیت توں کتے ودھ خطرے وچ پا رہی سی۔ لکھاری ایہہ وی آکھدے نیں پئی اوہناں دا موازنہ کئی گلاں نوں نظرانداز کردا اے، جویں سٹاک مارکیٹ دا عام وادھا تے حصے داراں توں اکٹھا کیتا نواں سرمایہ۔

لیوریج دی کھیڈ

نوٹ ایہنوں اک ٹھیک ٹھیک کھیڈ وچ بدل دیندا اے۔ اک کھڈاری، Alice، $1 نال شروع کردی اے تے m ڈالر دا ٹیچا رکھدی اے۔ ہر داء منصفانہ ہونا چاہیدا اے، پر ہر اک توں پہلاں اوہ اپنی رقم دے L − 1 گنا تیک ادھار لے سکدی اے، ایس لئی اوہ اپنی رقم دا L گنا تیک ہار سکدی اے۔ کھیڈ اوس ویلے مکدی اے جدوں اوہ اپنے ٹیچے تیک اپڑ جاوے یاں صفر یاں ایہدے توں تھلے ڈگ جاوے۔

سدھی چال، سارے ٹیچے لئی اک وڈا داء، ماڑی نکلدی اے۔ بار بار اپنی رقم دگنی کرنا ایہدے توں چنگا اے۔ سبق ایہہ اے پئی ہولی ہولی ودھو، تاں جو ہر جت اگلی واری لیوریج لئی ودھ رقم دیوے۔ سب توں چنگی حکمت عملی ایہنوں حد تیک لے جاندی اے: ہر داء اُتے، Alice اپنی رقم دا صرف اک نکا جیہا حصہ ε جتن دا ٹیچا رکھدی اے، جیہڑا اوہ لگ بھگ ہر واری جت لیندی اے، جدوں کہ کدے کدائیں ہون والی ہار اُتے اپنی ساری رقم تے ادھار خطرے وچ پاندی اے۔

×1,000 لئی دو وچوں اک موقع

لکھاری ثابت کردے نیں پئی ایہہ حکمت عملی اوس احتمال نال کامیاب ہوندی اے جیہڑا ایہدے نیڑے جاندا اے

m^(−1/L)

— ٹیچے دا گنا، منفی اک تقسیم لیوریج دی طاقت وچ — تے ایہہ پئی کوئی حکمت عملی ایہدے توں چنگی نہیں ہو سکدی۔ ثبوت اوسے اختیاری روک دے مسئلے نوں ورتدا اے، پر Alice دی دولت اُتے نہیں بلکہ اوہدے L-ویں جذر اُتے، اک ایسی مقدار جیہڑی اوسط وچ صرف تھلے ول ای کھسک سکدی اے۔

انکڑے حیران کن نیں۔ 10 دے لیوریج نال، جیہڑا Lehman توں گھٹ اے، کدے دیوالیہ ہوئے بغیر اپنی رقم 1,000 گنا کرن دا موقع لگ بھگ 50% اے، کیوں جے 1,000^(−1/10) ≈ 0.5۔ عام طور تے، لیوریج L نال، سکے اچھالن ورگا موقع تہانوں 2 دی طاقت L دا گنا دیندا اے۔ لیوریج 20 نال، ایہہ لگ بھگ دس لکھ بندا اے۔

تباہ کون ہوندا اے

واپس Lehman ول۔ 20 توں ودھ لیوریج نال، کھڈونا ماڈل آکھدا اے پئی اٹھ گنا وادھا اینا متاثر کن نہیں سی: صرف منصفانہ داواں نال وی لگ بھگ 8^(−1/20) ≈ 90% احتمال۔ ادھار مفت نہیں ہوندا، ظاہر اے؛ Lehman دا اندازہ سی پئی اوہ سال دا لگ بھگ 5% سود دیندی سی۔ کھیڈ وچ سود رلان نال نتیجہ نہیں بدلدا، جدوں تیک سود دی شرح 1 تقسیم لیوریج توں گھٹ رہوے۔

Kuszmaul صاف آکھدے نیں پئی ایہہ اک کھڈونا ماڈل اے، جیہڑا اوہناں نے اپنے رینڈمائزڈ الگورتھماں دے کورس لئی لکھیا، تے ایہہ اصلی دنیا دی مالیات نوں سمجھن دا دعویٰ نہیں کردا۔ ایہدا سبق ودھ سوڑا تے ودھ تکھا اے: منافعیاں دا شاندار سلسلہ چنگے داواں دا ثبوت نہیں۔ کافی لیوریج نال، منصفانہ داء اُچے احتمال نال دولت بنا سکدے نیں — تے جدوں کدے کدائیں والی ہار آندی اے، اوہ صفر توں کتے تھلے ڈگدی اے، جواری دی بجائے کسے ہور اُتے۔