उधार के पैसे से जुआरी दो में से एक बार जीतता है

सबसे सरल रूप में एक “वित्त कंपनी” की कल्पना कीजिए। वह कुछ पैसे से शुरू करती है और उसे r गुना करना चाहती है। वह केवल निष्पक्ष दाँव लगा सकती है — ऐसे दाँव जिनका औसत लाभ शून्य है — और अपने पास मौजूद पैसे से ज़्यादा जोखिम में नहीं डाल सकती। वह तब तक दाँव लगाती रहती है जब तक लक्ष्य तक न पहुँच जाए या दिवालिया न हो जाए।

प्रायिकता सिद्धांत इसका पक्का उत्तर देता है: औसतन मुनाफ़ा कमाने का कोई तरीक़ा नहीं है। एक क्लासिक परिणाम, वैकल्पिक रोक प्रमेय (optional stopping theorem), दिवालिया होने से पहले शुरुआती पैसे के r गुना तक पहुँचने की संभावना को r में 1 पर सीमित कर देता है। अपना दाँव 1,000 गुना करना चाहते हैं? आपकी संभावना अधिकतम हज़ार में एक है। इसे जुआरी का विनाश (gambler’s ruin) कहा जाता है।

लेहमन की पहेली

कार्नेगी मेलन यूनिवर्सिटी के कंप्यूटर वैज्ञानिक William Kuszmaul अपना छोटा-सा नोट एक वास्तविक मामले से शुरू करते हैं। 1995 से 2008 तक, लेहमन ब्रदर्स होल्डिंग्स ने अपनी शेयरधारक इक्विटी को लगभग 8 गुना किया, लगभग $3.4 अरब से लगभग $26 अरब तक। निष्पक्ष दाँवों और बिना उधार के, ऐसा होने की संभावना अधिकतम लगभग 8 में 1 होनी चाहिए थी।

लेकिन इसमें एक पेच था। जब 2008 में लेहमन दिवालिया हुआ, तो उसकी क़ीमत शून्य डॉलर नहीं थी: वह लगभग ऋण $150 अरब था। अपने लगभग $26 अरब के साथ, उसने दाँव लगाने के लिए लगभग $640 अरब उधार ले रखे थे। पूरी अवधि में उसका लीवरेज अनुपात — कुल परिसंपत्तियाँ भाग इक्विटी — 20 और 40 के बीच रहा। वह बार-बार अपने पास मौजूद पैसे से कहीं ज़्यादा जोखिम में डाल रहा था। लेखक जोड़ते हैं कि उनकी तुलना कई कारकों को नज़रअंदाज़ करती है, जैसे शेयर बाज़ार की सामान्य वृद्धि और शेयरधारकों से जुटाई गई नई पूँजी।

लीवरेज का खेल

नोट इसे एक सटीक खेल में बदल देता है। एक खिलाड़ी, Alice, $1 से शुरू करती है और m डॉलर का लक्ष्य रखती है। हर दाँव निष्पक्ष होना चाहिए, लेकिन हर दाँव से पहले वह अपने पास मौजूद पैसे का L − 1 गुना तक उधार ले सकती है, इसलिए वह अपने पैसे का L गुना तक हार सकती है। खेल तब ख़त्म होता है जब वह अपने लक्ष्य तक पहुँच जाए या शून्य या उससे नीचे गिर जाए।

स्पष्ट चाल — पूरे लक्ष्य के लिए एक बड़ा दाँव — बुरा प्रदर्शन करती है। पैसे को बार-बार दोगुना करना बेहतर है। सबक़ है धीरे-धीरे बढ़ना, ताकि हर जीत उसे अगली बार लीवरेज के लिए ज़्यादा पैसा दे। सबसे अच्छी रणनीति इसे चरम तक ले जाती है: हर दाँव पर Alice अपने पैसे का केवल एक नन्हा अंश ε जीतने का लक्ष्य रखती है, जो वह लगभग हर बार जीतती है, जबकि दुर्लभ हार पर वह अपना पूरा दाँव और उधार दोनों जोखिम में डालती है।

×1,000 का दो में एक मौक़ा

लेखक सिद्ध करते हैं कि यह रणनीति ऐसी संभावना से सफल होती है जो

m^(−1/L)

की ओर बढ़ती है — लक्ष्य गुणक की घात ऋण एक बटा लीवरेज — और यह कि कोई भी रणनीति इससे बेहतर नहीं कर सकती। प्रमाण उसी वैकल्पिक रोक प्रमेय का उपयोग करता है, जिसे Alice की संपत्ति पर नहीं, बल्कि उसके L-वें मूल पर लागू किया जाता है, एक ऐसी राशि जो औसतन केवल नीचे की ओर ही खिसक सकती है।

आँकड़े चौंकाने वाले हैं। 10 के लीवरेज के साथ, जो लेहमन से कम है, कभी दिवालिया हुए बिना अपने पैसे को 1,000 गुना करने की संभावना लगभग 50% है, क्योंकि 1,000^(−1/10) ≈ 0.5। अधिक सामान्य रूप से, लीवरेज L के साथ, सिक्का उछालने जितना मौक़ा आपको 2 की घात L का गुणक दिलाता है। लीवरेज 20 के साथ, यह लगभग दस लाख है।

बर्बाद कौन होता है

वापस लेहमन पर। 20 से ऊपर के लीवरेज के साथ, यह खिलौना मॉडल कहता है कि आठ गुना वृद्धि उतनी प्रभावशाली नहीं थी: लगभग 8^(−1/20) ≈ 90% संभावित, भले ही दाँव केवल निष्पक्ष रहे हों। बेशक, उधार मुफ़्त नहीं है; लेहमन का अनुमान था कि वह सालाना लगभग 5% ब्याज चुकाता था। खेल में ब्याज शामिल करने से निष्कर्ष नहीं बदलता, जब तक ब्याज दर एक बटा लीवरेज से नीचे रहे।

Kuszmaul स्पष्ट हैं कि यह एक खिलौना मॉडल है, जो उनके रैंडमाइज़्ड एल्गोरिदम पाठ्यक्रम के लिए लिखा गया है, और यह वास्तविक दुनिया के वित्त को पकड़ने का दावा नहीं करता। इसका सबक़ ज़्यादा संकीर्ण और ज़्यादा पैना है: मुनाफ़ों का शानदार सिलसिला अच्छे दाँवों का प्रमाण नहीं है। पर्याप्त लीवरेज के साथ, निष्पक्ष दाँव ऊँची संभावना से दौलत खड़ी कर सकते हैं — और जब वह दुर्लभ हार आती है, तो वह शून्य से बहुत नीचे गिरती है, जुआरी के बजाय किसी और पर।