MIT GELIEHENEM GELD GEWINNT DER SPIELER JEDES ZWEITE MAL

Man stelle sich eine „Finanzfirma“ in ihrer einfachsten Form vor. Sie startet mit etwas Geld und will es um einen Faktor r vermehren. Sie darf nur faire Wetten eingehen – Wetten, deren durchschnittlicher Gewinn null ist – und nie mehr riskieren, als sie gerade besitzt. Sie wettet so lange weiter, bis sie ihr Ziel erreicht oder pleite ist.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie gibt eine klare Antwort: Im Mittel lässt sich kein Gewinn erzielen. Ein klassisches Resultat, das Optional-Stopping-Theorem, begrenzt die Chance, das r-Fache des Startkapitals zu erreichen, bevor man pleite ist, auf 1 zu r. Sie wollen Ihren Einsatz vertausendfachen? Ihre Chancen stehen höchstens eins zu tausend. Das nennt man den Ruin des Spielers.

Das Lehman-Rätsel

William Kuszmaul, Informatiker an der Carnegie Mellon University, beginnt seine kurze Notiz mit einem realen Fall. Von 1995 bis 2008 vermehrte die Lehman Brothers Holdings ihr Eigenkapital ungefähr um den Faktor 8, von etwa $3,4 Milliarden auf etwa $26 Milliarden. Mit fairen Wetten und ohne Kredite hätte das mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens etwa 1 zu 8 geschehen dürfen.

Doch es gab einen Haken. Als Lehman 2008 pleiteging, war die Bank nicht null Dollar wert, sondern ungefähr minus $150 Milliarden. Mit ihren rund $26 Milliarden hatte sie sich etwa $640 Milliarden geliehen, um damit zu wetten. Über den gesamten Zeitraum lag ihr Verschuldungsgrad – Bilanzsumme geteilt durch Eigenkapital – zwischen 20 und 40. Sie riskierte immer wieder weit mehr, als sie besaß. Der Autor fügt hinzu, dass sein Vergleich viele Faktoren außer Acht lässt, etwa das allgemeine Wachstum des Aktienmarkts und neues Kapital von Aktionären.

Das Hebelspiel

Die Notiz macht daraus ein präzises Spiel. Eine Spielerin, Alice, beginnt mit $1 und zielt auf m Dollar. Jede Wette muss fair sein, doch vor jeder darf sie bis zum (L − 1)-Fachen dessen leihen, was sie hat, sodass sie bis zum L-Fachen ihres eigenen Geldes verlieren kann. Das Spiel endet, wenn sie ihr Ziel erreicht oder auf null oder darunter fällt.

Der naheliegende Zug, eine einzige große Wette auf das ganze Ziel, schneidet schlecht ab. Das Geld immer wieder zu verdoppeln, schneidet besser ab. Die Lehre: langsam wachsen, damit jeder Gewinn beim nächsten Mal mehr Kapital für den Hebel liefert. Die beste Strategie treibt das auf die Spitze: Bei jeder Wette zielt Alice nur auf einen winzigen Bruchteil ε ihres Geldes, den sie fast immer gewinnt, während sie bei der seltenen Niederlage ihren ganzen Einsatz plus den Kredit riskiert.

Eine Chance von eins zu zwei auf ×1000

Der Autor beweist, dass diese Strategie mit einer Wahrscheinlichkeit Erfolg hat, die sich

m^(−1/L)

nähert – dem Zielvielfachen hoch minus eins durch den Hebel –, und dass keine Strategie besser sein kann. Der Beweis nutzt dasselbe Optional-Stopping-Theorem, angewandt jedoch nicht auf Alices Vermögen, sondern auf dessen L-te Wurzel, eine Größe, die im Mittel nur abwärts driften kann.

Die Zahlen sind verblüffend. Mit einem Hebel von 10, kleiner als bei Lehman, liegt die Chance, sein Geld zu vertausendfachen, ohne je pleitezugehen, bei etwa 50 %, denn 1000^(−1/10) ≈ 0,5. Allgemeiner bringt einem bei Hebel L eine Münzwurf-Chance einen Faktor von 2 hoch L. Bei Hebel 20 ist das etwa eine Million.

Wer ruiniert wird

Zurück zu Lehman. Bei einem Hebel über 20 sagt das Spielzeugmodell, dass eine Verachtfachung gar nicht so beeindruckend war: Sie war mit etwa 8^(−1/20) ≈ 90 % wahrscheinlich, selbst mit bloß fairen Wetten. Leihen ist natürlich nicht umsonst; Lehman schätzte, etwa 5 % Zinsen pro Jahr zu zahlen. Bezieht man Zinsen ins Spiel ein, ändert sich das Fazit nicht, solange der Zinssatz unter 1 durch den Hebel bleibt.

Kuszmaul stellt klar, dass es sich um ein Spielzeugmodell handelt, geschrieben für seine Vorlesung über randomisierte Algorithmen, und dass es nicht den Anspruch erhebt, reale Finanzmärkte abzubilden. Seine Lehre ist enger und schärfer: Eine spektakuläre Gewinnserie beweist nicht, dass die Wetten gut waren. Mit genug Hebel können faire Wetten mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Vermögen aufbauen – und wenn der seltene Verlust kommt, landet er weit unter null, bei jemand anderem als dem Spieler.