KWA PESA ZA MKOPO, MCHEZA KAMARI HUSHINDA MARA MOJA KATI YA MBILI

Fikiria “kampuni ya fedha” katika umbo lake rahisi kabisa. Inaanza na kiasi fulani cha pesa na inataka kukizidisha kwa kipeo r. Inaweza tu kuweka dau za haki — dau ambazo faida yake ya wastani ni sifuri — na haiwezi kuhatarisha zaidi ya ilicho nacho kwa sasa. Inaendelea kuweka dau hadi ifikie lengo lake au ifilisike.

Nadharia ya uwezekano inatoa jibu thabiti: hakuna njia ya kupata faida kwa wastani. Tokeo maarufu, nadharia ya kusimama kwa hiari (optional stopping theorem), inaweka kikomo cha uwezekano wa kufikia mara r ya pesa zako za mwanzo kabla ya kufilisika kuwa 1 kati ya r. Unataka kuzidisha mtaji wako mara 1,000? Nafasi yako haizidi moja kati ya elfu moja. Hili hujulikana kama kufilisika kwa mcheza kamari (gambler’s ruin).

Kitendawili cha Lehman

William Kuszmaul, mwanasayansi wa kompyuta katika Chuo Kikuu cha Carnegie Mellon, anaanza maelezo yake mafupi kwa kisa halisi. Kuanzia 1995 hadi 2008, Lehman Brothers Holdings ilizidisha mtaji wa wanahisa wake takriban mara 8, kutoka takriban $3.4 bilioni hadi takriban $26 bilioni. Kwa dau za haki na bila kukopa, hilo lingetokea kwa uwezekano usiozidi takriban 1 kati ya 8.

Lakini kulikuwa na jambo lililofichika. Lehman ilipofilisika mwaka 2008, thamani yake haikuwa dola sifuri: ilikuwa takriban hasi $150 bilioni. Ikiwa na takriban $26 bilioni zake, ilikuwa imekopa karibu $640 bilioni ili kuweka dau. Katika kipindi chote, uwiano wake wa nguvu ya mkopo — jumla ya mali ikigawanywa kwa mtaji — ulibaki kati ya 20 na 40. Ilikuwa ikihatarisha mara kwa mara zaidi sana ya ilichokuwa nacho. Mwandishi anaongeza kwamba ulinganisho wake unapuuza mambo mengi, kama vile ukuaji wa jumla wa soko la hisa na mtaji mpya uliokusanywa kutoka kwa wanahisa.

Mchezo wa nguvu ya mkopo

Maelezo haya yanaligeuza hili kuwa mchezo mahususi. Mchezaji, Alice, anaanza na $1 na analenga dola m. Kila dau lazima liwe la haki, lakini kabla ya kila moja anaweza kukopa hadi mara L − 1 ya alicho nacho, hivyo anaweza kupoteza hadi mara L ya pesa zake mwenyewe. Mchezo unaisha anapofikia lengo lake au anaposhuka hadi sifuri au chini yake.

Hatua inayoonekana dhahiri, dau moja kubwa kwa lengo zima, inafanya vibaya. Kuzidisha pesa zake mara mbili tena na tena kunafanya vizuri zaidi. Funzo ni kukua polepole, ili kila ushindi umpe zaidi cha kutumia kama mtaji wa mkopo wakati ujao. Mkakati bora zaidi unasukuma hili hadi kikomo: katika kila dau, Alice analenga kupata sehemu ndogo mno ε tu ya pesa zake, ambayo hushinda karibu kila mara, huku akihatarisha mtaji wake wote pamoja na mkopo kwa hasara ile ya nadra.

Nafasi moja kati ya mbili ya ×1,000

Mwandishi anathibitisha kwamba mkakati huu unafaulu kwa uwezekano unaokaribia

m^(−1/L)

— kizidisho cha lengo kwa kipeo cha hasi moja gawanya kwa nguvu ya mkopo — na kwamba hakuna mkakati unaoweza kufanya vizuri zaidi. Uthibitisho unatumia nadharia ileile ya kusimama kwa hiari, ikitumiwa si kwa utajiri wa Alice bali kwa kipeuo chake cha L, kiasi ambacho kwa wastani kinaweza tu kuteremka.

Takwimu zinashangaza. Kwa nguvu ya mkopo ya 10, chini ya ile ya Lehman, uwezekano wa kuzidisha pesa zako mara 1,000 bila kufilisika hata mara moja ni takriban 50%, kwa kuwa 1,000^(−1/10) ≈ 0.5. Kwa ujumla zaidi, kwa nguvu ya mkopo L, nafasi ya nusu kwa nusu inakupatia kizidisho cha 2 kwa kipeo L. Kwa nguvu ya mkopo ya 20, hiyo ni takriban milioni moja.

Nani anafilisika

Turudi kwa Lehman. Kwa nguvu ya mkopo zaidi ya 20, modeli hii ya kuchezea inasema ukuaji wa mara nane haukuwa wa kuvutia hivyo: uwezekano wa takriban 8^(−1/20) ≈ 90%, hata kwa dau ambazo zilikuwa za haki tu. Bila shaka kukopa si bure; Lehman ilikadiria kwamba ililipa takriban 5% kwa mwaka kama riba. Kujumuisha riba katika mchezo hakubadilishi hitimisho, ilimradi kiwango cha riba kibaki chini ya 1 gawanya kwa nguvu ya mkopo.

Kuszmaul yuko wazi kwamba hii ni modeli ya kuchezea, iliyoandikwa kwa ajili ya kozi yake ya algorithimu za nasibu, na kwamba haidai kuakisi fedha za ulimwengu halisi. Funzo lake ni finyu zaidi na kali zaidi: msururu wa ajabu wa faida si uthibitisho wa dau nzuri. Kwa nguvu ya mkopo ya kutosha, dau za haki zinaweza kujenga utajiri kwa uwezekano mkubwa — na hasara ile ya nadra inapokuja, inatua chini sana ya sifuri, juu ya mtu mwingine asiye mcheza kamari.