उसनवारीच्या पैशांवर जुगारी दोनपैकी एकदा जिंकतो

सर्वात साध्या स्वरूपातील एका “वित्त कंपनी”ची कल्पना करा. ती काही पैशांनी सुरुवात करते आणि ते r पटीने वाढवू इच्छिते. ती केवळ न्याय्य पैजा लावू शकते — ज्या पैजांचा सरासरी नफा शून्य असतो — आणि तिच्याकडे सध्या आहे त्यापेक्षा जास्त धोक्यात घालू शकत नाही. ती आपले ध्येय गाठेपर्यंत किंवा दिवाळखोर होईपर्यंत पैजा लावत राहते.

संभाव्यता सिद्धांत ठाम उत्तर देतो: सरासरीने नफा कमावण्याचा कोणताही मार्ग नाही. ऐच्छिक थांबा प्रमेय (optional stopping theorem) हा एक अभिजात निष्कर्ष, कंगाल होण्याआधी सुरुवातीच्या रकमेच्या r पट गाठण्याच्या शक्यतेवर r मध्ये 1 इतकी मर्यादा घालतो. तुमचे भांडवल 1,000 पट करायचे आहे? तुमची शक्यता जास्तीत जास्त हजारात एक आहे. यालाच जुगाऱ्याचा विनाश (gambler’s ruin) म्हणतात.

लेहमनचे कोडे

कार्नेगी मेलन विद्यापीठातील संगणक शास्त्रज्ञ विल्यम कुस्मॉल (William Kuszmaul) आपल्या छोट्या टिपणाची सुरुवात एका खऱ्या उदाहरणाने करतात. 1995 ते 2008 या काळात लेहमन ब्रदर्स होल्डिंग्जने आपले भागधारक भांडवल साधारण 8 पट केले, सुमारे $3.4 अब्जवरून सुमारे $26 अब्जपर्यंत. न्याय्य पैजा आणि उसनवारीशिवाय, हे जास्तीत जास्त सुमारे 8 मध्ये 1 या शक्यतेने घडायला हवे होते.

पण यात एक मेख होती. 2008 मध्ये लेहमन दिवाळखोर झाली तेव्हा तिचे मूल्य शून्य डॉलर नव्हते: ते साधारण उणे $150 अब्ज होते. आपल्या सुमारे $26 अब्जसह, तिने पैजा लावण्यासाठी सुमारे $640 अब्ज उसने घेतले होते. संपूर्ण कालावधीत तिचे लिव्हरेज गुणोत्तर — एकूण मालमत्ता भागिले भांडवल — 20 ते 40 दरम्यान राहिले. ती वारंवार आपल्याकडे होते त्यापेक्षा कितीतरी जास्त धोक्यात घालत होती. लेखक पुढे म्हणतात की त्यांची तुलना शेअर बाजाराची सर्वसाधारण वाढ आणि भागधारकांकडून उभारलेले नवीन भांडवल यांसारख्या अनेक घटकांकडे दुर्लक्ष करते.

लिव्हरेजचा खेळ

हे टिपण याचे रूपांतर एका नेमक्या खेळात करते. ॲलिस नावाची खेळाडू $1 ने सुरुवात करते आणि m डॉलरचे लक्ष्य ठेवते. प्रत्येक पैज न्याय्य असलीच पाहिजे, पण प्रत्येक पैजेआधी ती आपल्याकडे असलेल्या रकमेच्या L − 1 पटीपर्यंत उसने घेऊ शकते, म्हणजे ती स्वतःच्या पैशांच्या L पटीपर्यंत गमावू शकते. ती आपले ध्येय गाठते किंवा शून्यावर वा त्याखाली जाते तेव्हा खेळ संपतो.

स्पष्ट दिसणारी चाल, संपूर्ण ध्येयासाठी एकच मोठी पैज, वाईट ठरते. आपले पैसे पुन्हा पुन्हा दुप्पट करणे अधिक चांगले ठरते. धडा असा की हळूहळू वाढा, म्हणजे प्रत्येक विजय पुढच्या वेळी लिव्हरेज करण्यासाठी अधिक भांडवल देतो. सर्वोत्तम रणनीती हे टोकापर्यंत नेते: प्रत्येक पैजेत ॲलिस आपल्या पैशांचा केवळ अगदी लहानसा अंश ε कमावण्याचे लक्ष्य ठेवते, जो ती जवळजवळ प्रत्येक वेळी जिंकते, आणि क्वचित होणाऱ्या हारीत आपले संपूर्ण भांडवल अधिक कर्ज धोक्यात घालते.

×1,000 ची दोनपैकी एक शक्यता

लेखक सिद्ध करतात की ही रणनीती यशस्वी होण्याची शक्यता

m^(−1/L)

— लक्ष्य गुणकाचा घात उणे एक भागिले लिव्हरेज — या मूल्याकडे जाते, आणि कोणतीही रणनीती यापेक्षा चांगली ठरू शकत नाही. सिद्धतेत तेच ऐच्छिक थांबा प्रमेय वापरले आहे, पण ॲलिसच्या संपत्तीवर नव्हे तर तिच्या L व्या मुळावर, जी राशी सरासरीने केवळ खालीच सरकू शकते.

आकडे थक्क करणारे आहेत. लेहमनपेक्षा कमी, 10 च्या लिव्हरेजसह, कधीही दिवाळखोर न होता आपले पैसे 1,000 पट करण्याची शक्यता सुमारे 50% आहे, कारण 1,000^(−1/10) ≈ 0.5. अधिक सर्वसाधारणपणे, L लिव्हरेजसह, नाणेफेकीइतकी शक्यता तुम्हाला 2 चा घात L इतका गुणक मिळवून देते. लिव्हरेज 20 असल्यास, ते सुमारे दहा लाख होते.

विनाश कुणाचा होतो

पुन्हा लेहमनकडे. 20 हून जास्त लिव्हरेजसह, हे खेळण्यातले मॉडेल सांगते की आठपट वाढ फारशी प्रभावी नव्हती: तिची शक्यता सुमारे 8^(−1/20) ≈ 90% होती, अगदी केवळ न्याय्य असलेल्या पैजांसहही. अर्थात, उसनवारी मोफत नसते; लेहमनने अंदाज केला होता की ती वर्षाला सुमारे 5% व्याज देत होती. व्याजदर 1 भागिले लिव्हरेजपेक्षा कमी असेपर्यंत, खेळात व्याज समाविष्ट केल्याने निष्कर्ष बदलत नाही.

कुस्मॉल स्पष्ट सांगतात की हे खेळण्यातले मॉडेल आहे, त्यांच्या यादृच्छिक अल्गोरिदम्सच्या अभ्यासक्रमासाठी लिहिलेले, आणि ते वास्तविक जगातील वित्तव्यवस्था पकडण्याचा दावा करत नाही. त्याचा धडा अधिक मर्यादित आणि अधिक धारदार आहे: नफ्याची नेत्रदीपक मालिका म्हणजे चांगल्या पैजांचा पुरावा नव्हे. पुरेशा लिव्हरेजसह, न्याय्य पैजा उच्च शक्यतेने संपत्ती उभी करू शकतात — आणि क्वचित येणारी हार येते तेव्हा ती शून्याच्या कितीतरी खाली कोसळते, आणि जुगाऱ्याऐवजी दुसऱ्याच कुणावर तरी येऊन पडते.