கடன் பணத்துடன், சூதாடி இரண்டில் ஒருமுறை வெல்கிறார்

மிக எளிய வடிவில் ஒரு “நிதி நிறுவனத்தை” கற்பனை செய்யுங்கள். அது கொஞ்சம் பணத்துடன் தொடங்கி, அதை r மடங்காக்க விரும்புகிறது. அது நியாயமான பந்தயங்களை மட்டுமே கட்ட முடியும் — சராசரி லாபம் பூஜ்ஜியமாக உள்ள பந்தயங்கள் — தன்னிடம் இப்போது உள்ளதைவிட அதிகமாக ஆபத்தில் வைக்க முடியாது. இலக்கை அடையும் வரை அல்லது திவாலாகும் வரை பந்தயம் கட்டிக்கொண்டே இருக்கிறது.

நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு உறுதியான பதிலைத் தருகிறது: சராசரியாக லாபம் ஈட்ட வழியே இல்லை. ஒரு பாரம்பரிய முடிவான விருப்ப நிறுத்தத் தேற்றம் (optional stopping theorem), திவாலாகும் முன் தொடக்கப் பணத்தின் r மடங்கை அடையும் வாய்ப்பை r-இல் 1 என்று வரம்பிடுகிறது. உங்கள் பணத்தை 1,000 மடங்காக்க வேண்டுமா? உங்கள் வாய்ப்பு அதிகபட்சம் ஆயிரத்தில் ஒன்று. இது சூதாடியின் அழிவு (gambler’s ruin) எனப்படுகிறது.

Lehman புதிர்

Carnegie Mellon பல்கலைக்கழகக் கணினி அறிவியலாளர் William Kuszmaul, தன் சிறு குறிப்பை ஓர் உண்மை நிகழ்வுடன் தொடங்குகிறார். 1995 முதல் 2008 வரை, Lehman Brothers Holdings தன் பங்குதாரர் மூலதனத்தைத் தோராயமாக 8 மடங்காக்கியது: சுமார் 3.4 பில்லியன் டாலரிலிருந்து சுமார் 26 பில்லியன் டாலருக்கு. நியாயமான பந்தயங்களுடனும் கடன் இல்லாமலும், இது அதிகபட்சம் சுமார் 8-இல் 1 என்ற நிகழ்தகவுடன்தான் நடந்திருக்க வேண்டும்.

ஆனால் ஒரு சிக்கல் இருந்தது. 2008-இல் Lehman திவாலானபோது, அதன் மதிப்பு பூஜ்ஜியம் டாலர் அல்ல: சுமார் கழித்தல் 150 பில்லியன் டாலர். தன் சுமார் 26 பில்லியன் டாலருடன், பந்தயம் கட்ட அது சுமார் 640 பில்லியன் டாலர் கடன் வாங்கியிருந்தது. அந்த முழுக் காலத்திலும், அதன் நெம்புகோல் விகிதம் — மொத்தச் சொத்துகள் வகுத்தல் மூலதனம் — 20 முதல் 40 வரை இருந்தது. அது தன்னிடம் இருந்ததைவிடப் பல மடங்கு அதிகமாக மீண்டும் மீண்டும் ஆபத்தில் வைத்தது. பங்குச் சந்தையின் பொதுவான வளர்ச்சி, பங்குதாரர்களிடமிருந்து திரட்டிய புதிய மூலதனம் போன்ற பல காரணிகளைத் தன் ஒப்பீடு புறக்கணிக்கிறது என்றும் ஆசிரியர் சேர்க்கிறார்.

நெம்புகோல் விளையாட்டு

குறிப்பு இதை ஒரு துல்லியமான விளையாட்டாக மாற்றுகிறது. Alice என்ற ஆட்டக்காரர் $1-உடன் தொடங்கி m டாலரை இலக்காகக் கொள்கிறார். ஒவ்வொரு பந்தயமும் நியாயமாக இருக்க வேண்டும்; ஆனால் ஒவ்வொன்றுக்கும் முன், தன்னிடம் உள்ளதன் L − 1 மடங்கு வரை கடன் வாங்கலாம்; எனவே தன் சொந்தப் பணத்தின் L மடங்கு வரை இழக்கலாம். இலக்கை அடையும்போதோ, பூஜ்ஜியத்துக்கு அல்லது அதற்குக் கீழே விழும்போதோ விளையாட்டு முடிகிறது.

வெளிப்படையான நகர்வு — முழு இலக்குக்கும் ஒரே பெரிய பந்தயம் — மோசமாகவே முடிகிறது. பணத்தை மீண்டும் மீண்டும் இரட்டிப்பது சிறந்தது. பாடம்: மெதுவாக வளருங்கள்; அப்போது ஒவ்வொரு வெற்றியும் அடுத்த முறை நெம்புகோலாகப் பயன்படுத்த அதிகப் பணம் தரும். சிறந்த உத்தி இதை எல்லை வரை தள்ளுகிறது: ஒவ்வொரு பந்தயத்திலும், Alice தன் பணத்தின் மிகச் சிறிய பின்னமான ε-ஐ மட்டுமே வெல்ல இலக்கு வைக்கிறார்; அதை ஏறக்குறைய ஒவ்வொரு முறையும் வெல்கிறார்; அரிதான தோல்வியில் தன் முழுப் பணத்தையும் கடனையும் ஆபத்தில் வைக்கிறார்.

×1,000-க்கு இரண்டில் ஒரு வாய்ப்பு

இந்த உத்தி பின்வருவதை நெருங்கும் நிகழ்தகவுடன் வெல்கிறது என்று ஆசிரியர் நிரூபிக்கிறார்:

m^(−1/L)

— இலக்கு மடங்கு, கழித்தல் ஒன்று வகுத்தல் நெம்புகோல் என்ற அடுக்கில் — மேலும் எந்த உத்தியாலும் இதைவிடச் சிறப்பாகச் செய்ய முடியாது. நிரூபணம் அதே விருப்ப நிறுத்தத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறது; ஆனால் Alice-இன் செல்வத்துக்கு அல்ல, அதன் L-ஆம் மூலத்துக்கு (L-th root); இது சராசரியாகக் கீழ்நோக்கி மட்டுமே நகரக்கூடிய ஓர் அளவு.

எண்கள் வியக்கவைக்கின்றன. Lehman-ஐவிடக் குறைவான 10 நெம்புகோலுடன், ஒருபோதும் திவாலாகாமல் பணத்தை 1,000 மடங்காக்கும் வாய்ப்பு சுமார் 50%, ஏனெனில் 1,000^(−1/10) ≈ 0.5. பொதுவாக, நெம்புகோல் L உடன், நாணயம் சுண்டுவது போன்ற வாய்ப்பு உங்களுக்கு 2-இன் அடுக்கு L மடங்கைத் தருகிறது. நெம்புகோல் 20 என்றால், அது சுமார் பத்து லட்சம்.

யார் அழிகிறார்கள்

மீண்டும் Lehman-க்கு. 20-க்கு மேலான நெம்புகோலுடன், எட்டு மடங்கு வளர்ச்சி அவ்வளவு வியப்பானதல்ல என்று இந்த விளையாட்டு மாதிரி சொல்கிறது: வெறும் நியாயமான பந்தயங்களுடனேயே சுமார் 8^(−1/20) ≈ 90% நிகழ்தகவு. கடன் இலவசமல்ல என்பது உண்மைதான்; ஆண்டுக்குச் சுமார் 5% வட்டி செலுத்தியதாக Lehman மதிப்பிட்டது. வட்டி விகிதம் 1 வகுத்தல் நெம்புகோலைவிடக் குறைவாக இருக்கும் வரை, விளையாட்டில் வட்டியைச் சேர்ப்பது முடிவை மாற்றுவதில்லை.

இது தன் சீரற்ற அல்காரிதங்கள் (randomized algorithms) பாடநெறிக்காக எழுதப்பட்ட ஒரு விளையாட்டு மாதிரி என்றும், உண்மை உலக நிதியைப் பிரதிபலிப்பதாக அது கூறவில்லை என்றும் Kuszmaul தெளிவாகச் சொல்கிறார். அதன் பாடம் குறுகியது, கூர்மையானது: லாபங்களின் கண்கவர் தொடர், நல்ல பந்தயங்களுக்குச் சான்று அல்ல. போதுமான நெம்புகோலுடன், நியாயமான பந்தயங்கள் உயர் நிகழ்தகவுடன் ஒரு செல்வத்தைக் கட்டியெழுப்பலாம் — அரிதான இழப்பு வரும்போது, அது பூஜ்ஜியத்துக்குக் கீழே வெகுதூரம் விழுகிறது, சூதாடி அல்லாத வேறொருவர் மீது.