EINE OBERGRENZE FÜR A + B = C, MIT EXPONENT 24

Man schreibe a + b = c mit drei ganzen Zahlen auf, die keinen gemeinsamen Faktor haben. Nun liste man die Primzahlen auf, die a, b oder c teilen, und multipliziere sie miteinander, jede nur ein einziges Mal. Das Ergebnis heißt N.

Meistens ist N viel größer als c. Nehmen wir 2 + 3 = 5: Die Primzahlen sind 2, 3 und 5, also ist N = 30, weit über 5. Manchmal aber sind die Zahlen aus sehr wenigen, sehr kleinen Primzahlen gebaut. In 1 + 8 = 9 sind die einzigen Primzahlen 2 und 3, also ist N = 6 – kleiner als c. In 1 + 80 = 81, mit 80 = 2⁴ × 5 und 81 = 3⁴, ist N gleich 30, während c gleich 81 ist.

Kleine Primzahlen, große Summen?

Wie weit kann das gehen? Kann c riesig sein, während N klein bleibt? Die abc-Vermutung von Masser und Oesterlé sagt, dass das nicht geht: c bleibt unter einer Potenz von N. Von mehreren anderen Aussagen über ganze Zahlen weiß man, dass sie aus ihr folgen.

In einem am 3. November 2026 veröffentlichten Preprint kündigt Christophe Soulé vom CNRS und vom Institut des hautes études scientifiques (IHÉS) in Bures-sur-Yvette, Frankreich, einen Beweis einer schwachen Form davon an:

c ≤ A(ε) · N^(24+ε)

Dabei ist ε eine beliebige positive Zahl, so klein man will, und A(ε) eine Konstante, die nur von ihr abhängt. In Worten: c kann niemals ein festes Vielfaches von N hoch ungefähr 24 übersteigen. Für N = 30 liegt diese Obergrenze bei etwa 3 × 10³⁵ mal einer Konstanten – riesig, aber fest.

Soulé stellt ausdrücklich klar, dass dies nicht die Vermutung selbst ist: Die abc-Regel folgt hier „wenn auch mit einem falschen Exponenten“, wie es in der Arbeit heißt.

Ein Umweg über Kurven

Der Beweis nimmt einen Umweg. Sein Hauptergebnis betrifft Kurven vom Geschlecht 2 – Gleichungen in zwei Unbekannten von einer bestimmten Komplexität. Für eine solche Kurve beschränkt die Arbeit die „Höhe“ ihrer Lösungen, ein Maß dafür, wie groß ihre Zahlen beim Aufschreiben sind, durch das 12 + ε-Fache einer Größe, die zu dem Zahlbereich gehört, in dem die Lösungen liegen. Eine ehrgeizigere Vermutung von Vojta würde 1 + ε an die Stelle von 12 + ε setzen.

Aus Arbeiten von Moret-Bailly war bereits bekannt, dass eine solche Schranke eine Form von abc nach sich zieht. Die Strategie selbst wurde von Parshin vorgeschlagen, dann von Moret-Bailly. Soulé führt sie aus:

Eine auf Kodaira zurückgehende Konstruktion ordnet der Kurve vom Geschlecht 2 eine ganze Familie von Kurven vom Geschlecht 6 zu.
Eine an jeder Kurve der Familie gemessene Größe, ihr arithmetischer „Selbstschnitt“, erweist sich als eine Höhe. Das Kerntheorem setzt ihr eine Obergrenze, mit einem Faktor 36 + ε.
Um dorthin zu gelangen, kombiniert die Arbeit die Schnitttheorie arithmetischer Flächen, Minkowskis Satz über sukzessive Minima und Rechnungen an Kurven vom Geschlecht 3 und 6, die „mit Hilfe von“ Voisin durchgeführt wurden.

Der Exponent 24 ergibt sich dann aus einer bestimmten Kurve, y² + y = x⁵. Über ihre Abbildung vom Grad 5 auf die Gerade wird aus dem Faktor 12 nun 5/2 × 12 = 30; eine Abschätzung einer Diskriminante multipliziert ihn dann mit 4/5, was 24 ergibt.

Konsequenzen, mit schwächeren Konstanten

Laut der Arbeit folgen die bekannten Konsequenzen von abc auch aus ihren Ergebnissen, „mit schwächeren Konstanten“. Sie beweist zwei Beispiele:

eine schwache Form der Szpiro-Vermutung über elliptische Kurven, mit einem Faktor von 144 (1 + log 24) + ε;
das Fehlen sogenannter Siegel-Nullstellen für eine Familie von Funktionen der Zahlentheorie, L-Funktionen quadratischer Charaktere mit negativer Diskriminante – durch ein Argument von Granville und Stark, das, wie die Arbeit anmerkt, auch mit einem anderen Exponenten als 1 + ε funktioniert. Die Arbeit verweist zudem auf zwei weitere aktuelle Preprints zu dieser Frage.

Noch zu prüfen

Es handelt sich um einen 39-seitigen Beweis aus einer einzigen Feder, geschrieben in der anspruchsvollen Sprache der arithmetischen Geometrie, und er hat noch kein Peer-Review durchlaufen. Soulé dankt 26 Kollegen für ihre Hilfe, doch das bedeutet nicht, dass sie ihn geprüft haben. Die Arbeit sagt nicht, ob sich die Konstante A(ε) explizit berechnen lässt.

Hält das Argument, dann haben die Summen a + b = c eine Obergrenze mit festem Exponenten: noch nicht den, den die Vermutung verlangt, aber 24.