BATAS ATAS UNTUK A + B = C, DENGAN EKSPONEN 24

Tuliskan a + b = c dengan tiga bilangan bulat yang tidak memiliki faktor persekutuan. Sekarang, daftarlah bilangan-bilangan prima yang membagi a, b, atau c, lalu kalikan semuanya, masing-masing hanya sekali. Sebut hasilnya N.

Biasanya, N jauh lebih besar daripada c. Ambil 2 + 3 = 5: bilangan primanya adalah 2, 3, dan 5, sehingga N = 30, jauh di atas 5. Tetapi kadang-kadang bilangan-bilangan itu tersusun dari sangat sedikit bilangan prima yang sangat kecil. Pada 1 + 8 = 9, bilangan primanya hanya 2 dan 3, sehingga N = 6 — kurang dari c. Pada 1 + 80 = 81, dengan 80 = 2⁴ × 5 dan 81 = 3⁴, N adalah 30, sedangkan c adalah 81.

Bilangan prima kecil, jumlah besar?

Seberapa jauh hal ini bisa berlanjut? Dapatkah c menjadi sangat besar sementara N tetap kecil? Konjektur abc dari Masser dan Oesterlé mengatakan tidak bisa: c tetap berada di bawah suatu pangkat dari N. Beberapa pernyataan lain tentang bilangan bulat diketahui mengikuti darinya.

Dalam sebuah pracetak yang diunggah pada 3 November 2026, Christophe Soulé, dari CNRS dan Institut des hautes études scientifiques (IHÉS) di Bures-sur-Yvette, Prancis, mengumumkan bukti untuk sebuah bentuk lemah dari konjektur itu:

c ≤ A(ε) · N^(24+ε)

Di sini ε adalah sembarang bilangan positif, sekecil yang kita mau, dan A(ε) adalah sebuah konstanta yang hanya bergantung padanya. Dengan kata lain: c tidak pernah dapat melebihi suatu kelipatan tetap dari N pangkat kira-kira 24. Untuk N = 30, batas atas itu sekitar 3 × 10³⁵ kali sebuah konstanta — sangat besar, tetapi tetap.

Penulisnya secara tegas menyatakan bahwa ini bukan konjektur itu sendiri: aturan abc di sini mengikuti “meskipun dengan eksponen yang salah”, sebagaimana dituliskan dalam makalah itu.

Jalan memutar melalui kurva

Bukti itu menempuh jalan memutar. Hasil utamanya menyangkut kurva bergenus 2 — persamaan dalam dua variabel yang tidak diketahui dengan tingkat kerumitan tertentu. Untuk kurva semacam itu, makalah tersebut membatasi “tinggi” (height) solusi-solusinya, yaitu ukuran seberapa besar bilangan-bilangannya bila dituliskan, dengan 12 + ε kali suatu besaran yang melekat pada sistem bilangan tempat solusi-solusi itu berada. Sebuah konjektur yang lebih ambisius dari Vojta akan menempatkan 1 + ε sebagai ganti 12 + ε.

Sudah diketahui, dari karya Moret-Bailly, bahwa batas semacam itu mengimplikasikan suatu bentuk abc. Strategi itu sendiri diusulkan oleh Parshin, kemudian oleh Moret-Bailly. Soulé menjalankannya:

1. Sebuah konstruksi dari Kodaira melekatkan pada kurva bergenus 2 itu sebuah keluarga kurva bergenus 6 secara utuh.
2. Suatu besaran yang diukur pada setiap kurva dalam keluarga itu, yaitu “swa-perpotongan” (self-intersection) aritmetisnya, ternyata merupakan sebuah tinggi. Teorema intinya memberi batas atas pada besaran itu, dengan faktor 36 + ε.
3. Untuk sampai ke sana, makalah itu menggabungkan teori perpotongan untuk permukaan aritmetis, teorema Minkowski tentang minimum berturut-turut (successive minima), dan perhitungan pada kurva bergenus 3 dan 6 yang dikerjakan “dengan bantuan” Voisin.

Eksponen 24 kemudian muncul dari satu kurva tertentu, y² + y = x⁵. Melalui pemetaannya yang berderajat 5 ke garis, faktor 12 menjadi 5/2 × 12 = 30; sebuah taksiran atas suatu diskriminan kemudian mengalikannya dengan 4/5, sehingga menghasilkan 24.

Akibat-akibat, dengan konstanta yang lebih lemah

Menurut makalah itu, akibat-akibat abc yang sudah dikenal juga mengikuti dari hasil-hasilnya, “dengan konstanta yang lebih lemah”. Makalah itu membuktikan dua contoh:

• sebuah bentuk lemah dari konjektur Szpiro tentang kurva eliptik, dengan faktor 144 (1 + log 24) + ε;
• ketiadaan apa yang disebut nol Siegel (Siegel zeros) untuk sebuah keluarga fungsi dalam teori bilangan, yaitu fungsi-L dari karakter kuadratik dengan diskriminan negatif — melalui argumen dari Granville dan Stark, yang, seperti dicatat makalah itu, tetap berlaku dengan eksponen selain 1 + ε. Makalah itu juga merujuk pada dua pracetak baru lain tentang pertanyaan tersebut.

Masih harus diperiksa

Ini adalah bukti setebal 39 halaman dari seorang penulis tunggal, ditulis dalam bahasa geometri aritmetis tingkat lanjut, dan belum melalui tinjauan sejawat. Penulisnya berterima kasih kepada 26 kolega atas bantuan mereka, tetapi itu tidak berarti mereka telah memeriksanya. Makalah itu tidak menyebutkan apakah konstanta A(ε) dapat dihitung secara eksplisit.

Jika argumennya bertahan, jumlah-jumlah a + b = c akan memiliki batas atas dengan eksponen tetap: belum eksponen yang diminta oleh konjektur, tetapi 24.