A + B = C İÇİN ÜSSÜ 24 OLAN BİR TAVAN

Ortak çarpanı olmayan üç tam sayıyla a + b = c yazın. Şimdi a, b ya da c’yi bölen asal sayıları listeleyin ve her birini yalnızca bir kez alarak hepsini çarpın. Sonuca N deyin.

Çoğu zaman N, c’den çok daha büyüktür. 2 + 3 = 5’i alın: asallar 2, 3 ve 5, dolayısıyla N = 30, yani 5’in çok üstünde. Ama bazen sayılar çok az sayıda, çok küçük asaldan kurulur. 1 + 8 = 9’da asallar yalnızca 2 ve 3’tür, dolayısıyla N = 6 — c’den küçük. 1 + 80 = 81’de, 80 = 2⁴ × 5 ve 81 = 3⁴ olduğundan N 30’dur, c ise 81.

Küçük asallar, büyük toplamlar?

Bu nereye kadar gidebilir? N küçük kalırken c devasa olabilir mi? Masser ve Oesterlé’nin abc sanısı olamayacağını söyler: c, N’nin bir kuvvetinin altında kalır. Tam sayılarla ilgili başka birkaç önermenin ondan çıktığı biliniyor.

3 Kasım 2026’da yayımlanan bir ön baskıda, Fransa’nın Bures-sur-Yvette kentindeki CNRS ve Institut des hautes études scientifiques’ten (IHÉS) Christophe Soulé, bu sanının zayıf bir biçiminin kanıtını duyuruyor:

c ≤ A(ε) · N^(24+ε)

Burada ε, istediğiniz kadar küçük herhangi bir pozitif sayı, A(ε) ise yalnızca ona bağlı bir sabit. Sözcüklerle: c, N’nin kabaca 24’üncü kuvvetinin sabit bir katını hiçbir zaman aşamaz. N = 30 için bu tavan yaklaşık 3 × 10³⁵ çarpı bir sabittir — devasa, ama sabit.

Yazar bunun sanının kendisi olmadığını açıkça belirtiyor: makalenin deyişiyle abc kuralı burada “yanlış bir üsle de olsa” çıkıyor.

Eğriler üzerinden dolambaçlı bir yol

Kanıt dolambaçlı bir yol izliyor. Ana sonucu cinsi 2 olan eğrilerle ilgili — belirli bir karmaşıklıktaki iki bilinmeyenli denklemler. Böyle bir eğri için makale, çözümlerinin “yüksekliğini” — sayılarını yazmanın ne kadar yer tuttuğunun bir ölçüsü — çözümlerin içinde yaşadığı sayı sistemine bağlı bir niceliğin 12 + ε katıyla sınırlıyor. Vojta’nın daha iddialı bir sanısı, 12 + ε yerine 1 + ε koyardı.

Moret-Bailly’nin çalışmalarından, böyle bir sınırın abc’nin bir biçimini gerektirdiği zaten biliniyordu. Stratejinin kendisi önce Parshin, sonra Moret-Bailly tarafından önerilmişti. Soulé onu hayata geçiriyor:

Kodaira’ya ait bir yapı, cinsi 2 olan eğriye koca bir cinsi 6 olan eğriler ailesi iliştirir.
Ailedeki her eğri üzerinde ölçülen bir nicelik, aritmetik “öz-kesişimi”, bir yükseklik olarak ortaya çıkıyor. Temel teorem ona 36 + ε çarpanıyla bir tavan koyuyor.
Oraya varmak için makale, aritmetik yüzeyler için kesişim kuramını, Minkowski’nin ardışık minimumlar teoremini ve Voisin’in “yardımıyla” yapılan cinsi 3 ve 6 olan eğriler üzerindeki hesapları bir araya getiriyor.

24 üssü ardından belirli bir eğriden, y² + y = x⁵’ten çıkıyor. Bu eğrinin doğru üzerine 5. dereceden gönderimi aracılığıyla 12 çarpanı 5/2 × 12 = 30 olur; ardından bir diskriminant tahmini onu 4/5 ile çarparak 24’ü verir.

Daha zayıf sabitlerle sonuçlar

Makaleye göre abc’nin bilinen sonuçları onun sonuçlarından da “daha zayıf sabitlerle” çıkıyor. Makale iki örneği kanıtlıyor:

eliptik eğriler üzerine Szpiro sanısının zayıf bir biçimi, 144 (1 + log 24) + ε çarpanıyla;
sayılar kuramındaki bir fonksiyon ailesi, yani negatif diskriminantlı ikinci dereceden karakterlerin L-fonksiyonları için Siegel sıfırları denen sıfırların yokluğu — Granville ve Stark’ın bir argümanıyla; makalenin belirttiğine göre bu argüman 1 + ε’dan farklı bir üsle de işliyor. Makale bu soruyla ilgili yakın tarihli iki başka ön baskıya da atıfta bulunuyor.

Henüz denetlenmesi gerekiyor

Bu, tek bir yazarın aritmetik geometrinin ileri dilinde yazılmış 39 sayfalık bir kanıtı ve henüz hakem değerlendirmesinden geçmedi. Yazar yardımları için 26 meslektaşına teşekkür ediyor, ama bu onların kanıtı denetlediği anlamına gelmiyor. Makale, A(ε) sabitinin açıkça hesaplanıp hesaplanamayacağını söylemiyor.

Argüman doğruysa, a + b = c toplamlarının üssü sabit bir tavanı olacak: henüz sanının istediği üs değil, ama 24.