a + b = c-க்கு ஓர் உச்சவரம்பு, அடுக்கு 24 உடன்

பொதுக் காரணி எதுவும் இல்லாத மூன்று முழு எண்களைக் கொண்டு a + b = c என்று எழுதுங்கள். இப்போது a, b அல்லது c-ஐ வகுக்கும் பகா எண்களைப் பட்டியலிட்டு, ஒவ்வொன்றையும் ஒருமுறை மட்டுமே எடுத்து, அவற்றை ஒன்றாகப் பெருக்குங்கள். அந்த முடிவை N என்று அழையுங்கள்.

பெரும்பாலான நேரங்களில், N என்பது c-ஐ விட மிகப் பெரியது. 2 + 3 = 5-ஐ எடுத்துக்கொள்ளுங்கள்: பகா எண்கள் 2, 3, 5; எனவே N = 30, இது 5-ஐ விட வெகு அதிகம். ஆனால் சில நேரங்களில் எண்கள் மிகச் சில, மிகச் சிறிய பகா எண்களால் கட்டப்பட்டிருக்கின்றன. 1 + 8 = 9-இல், பகா எண்கள் 2, 3 மட்டுமே; எனவே N = 6 — c-ஐ விடக் குறைவு. 1 + 80 = 81-இல், 80 = 2⁴ × 5, 81 = 3⁴ என்பதால், N என்பது 30; ஆனால் c என்பது 81.

சிறிய பகா எண்கள், பெரிய கூட்டுத்தொகைகள்?

இது எவ்வளவு தூரம் செல்ல முடியும்? N சிறியதாகவே இருக்கும்போது c பிரம்மாண்டமாக இருக்க முடியுமா? Masser, Oesterlé ஆகியோரின் abc கருதுகோள் (abc conjecture) முடியாது என்கிறது: c, N-இன் ஏதோ ஓர் அடுக்குக்குக் கீழேயே இருக்கிறது. முழு எண்கள் பற்றிய வேறு பல கூற்றுகள் இதிலிருந்து பின்தொடர்கின்றன என்பது அறியப்பட்டதே.

3 நவம்பர் 2026 அன்று வெளியிடப்பட்ட ஒரு முன்அச்சில், CNRS, பிரான்சின் Bures-sur-Yvette-இல் உள்ள Institut des hautes études scientifiques (IHÉS) ஆகியவற்றைச் சேர்ந்த Christophe Soulé, அதன் ஒரு பலவீன வடிவத்துக்கான நிரூபணத்தை அறிவிக்கிறார்:

c ≤ A(ε) · N^(24+ε)

இங்கே ε என்பது நீங்கள் விரும்பும் அளவுக்குச் சிறிய, ஏதேனும் ஒரு நேர்ம எண்; A(ε) என்பது அதை மட்டுமே சார்ந்த ஒரு மாறிலி. சொற்களில் சொன்னால்: N-இன் ஏறக்குறைய 24-ஆம் அடுக்கின் ஒரு நிலையான மடங்கை c ஒருபோதும் தாண்ட முடியாது. N = 30-க்கு, அந்த உச்சவரம்பு ஏறக்குறைய 3 × 10³⁵ மடங்கு ஒரு மாறிலி — பிரம்மாண்டமானது, ஆனால் நிலையானது.

இது கருதுகோளே அல்ல என்பதை ஆசிரியர் வெளிப்படையாகக் கூறுகிறார்: கட்டுரை சொல்வதுபோல, இங்கே abc விதி “ஒரு தவறான அடுக்குடன் என்றாலும்” பின்தொடர்கிறது.

வளைவுகள் வழியாக ஒரு சுற்றுவழி

நிரூபணம் ஒரு சுற்றுவழியில் செல்கிறது. அதன் முதன்மை முடிவு பேரினம் 2 வளைவுகள் (curves of genus 2) பற்றியது — குறிப்பிட்ட ஒரு சிக்கல்தன்மை கொண்ட, இரண்டு தெரியாதவைகளில் அமைந்த சமன்பாடுகள். அத்தகைய ஒரு வளைவுக்கு, அதன் தீர்வுகளின் “உயரத்தை” (height) — அவற்றின் எண்களை எழுதும்போது அவை எவ்வளவு பெரியவை என்பதற்கான ஓர் அளவை — தீர்வுகள் அமைந்துள்ள எண் அமைப்புடன் இணைக்கப்பட்ட ஒரு கணியத்தின் 12 + ε மடங்குக்குள் கட்டுரை கட்டுப்படுத்துகிறது. Vojta-வின் இன்னும் லட்சியமான ஒரு கருதுகோள், 12 + ε-க்குப் பதிலாக 1 + ε-ஐ வைக்கும்.

அத்தகைய ஒரு வரம்பு abc-இன் ஒரு வடிவத்தைத் தருகிறது என்பது Moret-Bailly-இன் ஆய்விலிருந்து ஏற்கெனவே தெரிந்திருந்தது. இந்த உத்தியையே முதலில் Parshin, பிறகு Moret-Bailly முன்மொழிந்தனர். Soulé அதைச் செயல்படுத்துகிறார்:

1. Kodaira-வுக்கு உரிய ஒரு கட்டுமானம், பேரினம் 2 வளைவுடன் பேரினம் 6 வளைவுகளின் ஒரு முழுக் குடும்பத்தை இணைக்கிறது.
2. அந்தக் குடும்பத்தின் ஒவ்வொரு வளைவின் மீதும் அளக்கப்படும் ஒரு கணியம் — அதன் எண்கணித “சுய-வெட்டு” (self-intersection) — ஓர் உயரமாக அமைகிறது. மையத் தேற்றம் அதற்கு 36 + ε என்ற காரணியுடன் ஓர் உச்சவரம்பு இடுகிறது.
3. அங்கே சென்றடைய, கட்டுரை எண்கணிதப் பரப்புகளுக்கான வெட்டுக் கோட்பாடு (intersection theory), அடுத்தடுத்த சிறுமங்கள் (successive minima) பற்றிய Minkowski-இன் தேற்றம், Voisin-இன் “உதவியுடன்” மேற்கொள்ளப்பட்ட பேரினம் 3, 6 வளைவுகள் மீதான கணக்கீடுகள் ஆகியவற்றை இணைக்கிறது.

பின்னர் 24 என்ற அடுக்கு, y² + y = x⁵ என்ற ஒரு குறிப்பிட்ட வளைவிலிருந்து வெளிப்படுகிறது. கோட்டின் மீதான அதன் படி (degree) 5 கொண்ட கோப்பின் (map) வழியாக, 12 என்ற காரணி 5/2 × 12 = 30 ஆகிறது; பிறகு ஒரு தன்மைகாட்டியின் (discriminant) மதிப்பீடு அதை 4/5-ஆல் பெருக்கி, 24-ஐத் தருகிறது.

பலவீனமான மாறிலிகளுடன் விளைவுகள்

கட்டுரையின்படி, abc-இன் அறியப்பட்ட விளைவுகளும் அதன் முடிவுகளிலிருந்து “பலவீனமான மாறிலிகளுடன்” பின்தொடர்கின்றன. அது இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளை நிரூபிக்கிறது:

• நீள்வட்ட வளைவுகள் (elliptic curves) பற்றிய Szpiro-வின் கருதுகோளின் ஒரு பலவீன வடிவம், 144 (1 + log 24) + ε என்ற காரணியுடன்;
• எண் கோட்பாட்டின் ஒரு சார்புக் குடும்பத்துக்கு — எதிர்மத் தன்மைகாட்டி கொண்ட இருபடிச் சிறப்பியல்புகளின் (quadratic characters) L-சார்புகளுக்கு — Siegel பூஜ்ஜியங்கள் (Siegel zeros) எனப்படுபவை இல்லை என்பது; இது Granville, Stark ஆகியோரின் ஒரு வாதத்தின் மூலம் பெறப்படுகிறது; கட்டுரை குறிப்பிடுவதுபோல, அந்த வாதம் 1 + ε அல்லாத வேறோர் அடுக்குடனும் செயல்படுகிறது. அந்தக் கேள்வி பற்றிய வேறு இரண்டு சமீபத்திய முன்அச்சுகளையும் கட்டுரை குறிப்பிடுகிறது.

இன்னும் சரிபார்க்கப்பட வேண்டியது

இது ஒரே ஆசிரியர் எழுதிய, எண்கணித வடிவியலின் (arithmetic geometry) மேம்பட்ட மொழியில் அமைந்த 39 பக்க நிரூபணம்; இது இன்னும் சக மதிப்பாய்வுக்கு (peer review) உட்படுத்தப்படவில்லை. ஆசிரியர் தமக்கு உதவிய 26 சக ஆய்வாளர்களுக்கு நன்றி தெரிவிக்கிறார்; ஆனால் அவர்கள் அதைச் சரிபார்த்துவிட்டனர் என்று அதற்குப் பொருள் இல்லை. A(ε) என்ற மாறிலியை வெளிப்படையாகக் கணக்கிட முடியுமா என்பதைக் கட்டுரை சொல்லவில்லை.

வாதம் நிலைத்தால், a + b = c என்ற கூட்டுத்தொகைகளுக்கு நிலையான அடுக்குடன் கூடிய ஓர் உச்சவரம்பு இருக்கும்: கருதுகோள் கேட்கும் அடுக்கு இன்னும் அல்ல, ஆனால் 24.