ПОТОЛОК ДЛЯ A + B = C С ПОКАЗАТЕЛЕМ 24

Запишите a + b = c, где три целых числа не имеют общего делителя. Теперь выпишите простые числа, которые делят a, b или c, и перемножьте их, беря каждое лишь один раз. Назовём результат N.

Как правило, N намного больше c. Возьмём 2 + 3 = 5: простые числа здесь 2, 3 и 5, поэтому N = 30 — гораздо больше 5. Но иногда числа составлены из очень немногих и очень маленьких простых. В 1 + 8 = 9 простые числа только 2 и 3, поэтому N = 6 — меньше c. В 1 + 80 = 81, где 80 = 2⁴ × 5 и 81 = 3⁴, N равно 30, тогда как c равно 81.

Маленькие простые, большие суммы?

Как далеко это может зайти? Может ли c быть огромным, когда N остаётся маленьким? Гипотеза abc Массера и Эстерле утверждает, что не может: c остаётся ниже некоторой степени N. Известно, что из неё вытекает ряд других утверждений о целых числах.

В препринте, выложенном 3 ноября 2026 года, Кристоф Суле (Christophe Soulé) из CNRS и Института высших научных исследований (IHÉS) в Бюр-сюр-Иветт во Франции объявляет о доказательстве её ослабленной формы:

c ≤ A(ε) · N^(24+ε)

Здесь ε — любое положительное число, сколь угодно малое, а A(ε) — константа, зависящая только от него. Словами: c никогда не может превысить фиксированное кратное N в степени примерно 24. Для N = 30 этот потолок составляет около 3 × 10³⁵, умноженных на константу, — огромный, но фиксированный.

Автор прямо говорит, что это не сама гипотеза: правило abc здесь вытекает, как сказано в статье, «хотя и с неправильным показателем».

Обходной путь через кривые

Доказательство идёт обходным путём. Его главный результат касается кривых рода 2 — уравнений с двумя неизвестными определённой сложности. Для такой кривой статья ограничивает «высоту» её решений — меру того, насколько велики числа, которыми они записываются, — величиной, в 12 + ε раза большей некоторой характеристики числовой системы, в которой живут решения. Более амбициозная гипотеза Войты поставила бы на место 12 + ε величину 1 + ε.

Из работы Море-Байи уже было известно, что такая оценка влечёт некоторую форму abc. Саму стратегию предложил Паршин, а затем Море-Байи. Суле доводит её до конца:

1. Конструкция Кодаиры сопоставляет кривой рода 2 целое семейство кривых рода 6.
2. Величина, измеряемая на каждой кривой семейства, — её арифметическое «самопересечение» — оказывается высотой. Центральная теорема ставит ей потолок с множителем 36 + ε.
3. Чтобы прийти к этому, статья сочетает теорию пересечений на арифметических поверхностях, теорему Минковского о последовательных минимумах и вычисления на кривых рода 3 и 6, выполненные «с помощью» Вуазен.

Показатель 24 затем получается из одной конкретной кривой, y² + y = x⁵. Через её отображение степени 5 на прямую множитель 12 превращается в 5/2 × 12 = 30; затем оценка дискриминанта умножает его на 4/5, что даёт 24.

Следствия — с более слабыми константами

Согласно статье, известные следствия abc вытекают и из её результатов, «с более слабыми константами». В ней доказаны два примера:

• ослабленная форма гипотезы Шпиро об эллиптических кривых с множителем 144 (1 + log 24) + ε;
• отсутствие так называемых нулей Зигеля у семейства функций теории чисел — L-функций квадратичных характеров с отрицательным дискриминантом — благодаря рассуждению Гранвилла и Старка, которое, как отмечается в статье, работает и с показателем, отличным от 1 + ε. Статья также ссылается на два других недавних препринта по этому вопросу.

Ещё предстоит проверить

Это 39-страничное доказательство одного автора, написанное на продвинутом языке арифметической геометрии, и оно ещё не прошло рецензирование. Автор благодарит 26 коллег за помощь, но это не значит, что они его проверили. В статье не сказано, можно ли вычислить константу A(ε) явно.

Если рассуждение верно, у сумм a + b = c появится потолок с фиксированным показателем: пока не тем, которого требует гипотеза, а 24.