سقفی برای a + b = c، با نمای 24

a + b = c را با سه عدد صحیح بنویسید که هیچ عامل مشترکی ندارند. اکنون عددهای اولی را که a، b یا c بر آن‌ها بخش‌پذیرند فهرست کنید و آن‌ها را، هر کدام فقط یک بار، در هم ضرب کنید. نتیجه را N بنامید.

بیشتر وقت‌ها، N بسیار بزرگ‌تر از c است. 2 + 3 = 5 را در نظر بگیرید: عددهای اول 2، 3 و 5 هستند، پس N = 30، بسیار بالاتر از 5. اما گاهی عددها تنها از چند عدد اول بسیار کوچک ساخته شده‌اند. در 1 + 8 = 9، تنها عددهای اول 2 و 3 هستند، پس N = 6 — کمتر از c. در 1 + 80 = 81، با 80 = 2⁴ × 5 و 81 = 3⁴، N برابر 30 است، در حالی که c برابر 81 است.

عددهای اول کوچک، حاصل‌جمع‌های بزرگ؟

این تا کجا می‌تواند پیش برود؟ آیا c می‌تواند بسیار بزرگ باشد در حالی که N کوچک می‌ماند؟ حدس abc ماسر و اوسترله (Masser و Oesterlé) می‌گوید نمی‌تواند: c زیر توانی از N می‌ماند. می‌دانیم که چندین گزارهٔ دیگر دربارهٔ اعداد صحیح از آن نتیجه می‌شوند.

کریستف سوله (Christophe Soulé)، از CNRS و مؤسسهٔ مطالعات عالی علمی (Institut des hautes études scientifiques، IHÉS) در بور-سور-ایوت (Bures-sur-Yvette) فرانسه، در پیش‌چاپی که در 3 نوامبر 2026 منتشر شد، اثبات یک صورت ضعیف از آن را اعلام می‌کند:

c ≤ A(ε) · N^(24+ε)

در اینجا ε هر عدد مثبتی است، به هر اندازه کوچک که بخواهید، و A(ε) ثابتی است که تنها به آن بستگی دارد. به بیان ساده: c هرگز نمی‌تواند از مضرب ثابتی از N به توان تقریباً 24 فراتر رود. برای N = 30، این سقف حدود 3 × 10³⁵ ضرب در یک ثابت است — بسیار بزرگ، اما ثابت.

نویسنده صراحتاً می‌گوید که این خودِ حدس نیست: به تعبیر مقاله، قاعدهٔ abc در اینجا «هرچند با نمایی نادرست» نتیجه می‌شود.

راهی غیرمستقیم از طریق خم‌ها

اثبات راهی غیرمستقیم در پیش می‌گیرد. نتیجهٔ اصلی آن دربارهٔ خم‌های گونای 2 (curves of genus 2) است — معادله‌هایی با دو مجهول و با پیچیدگی‌ای خاص. برای چنین خمی، مقاله «ارتفاع» (height) جواب‌هایش را، که معیاری است از اینکه عددهایشان برای نوشتن چقدر بزرگ‌اند، به 12 + ε برابرِ کمیتی وابسته به دستگاه عددی‌ای که جواب‌ها در آن جای دارند محدود می‌کند. حدسی بلندپروازانه‌تر از وویتا (Vojta) به‌جای 12 + ε مقدار 1 + ε را قرار می‌دهد.

از کارهای موره-بایی (Moret-Bailly) پیش‌تر می‌دانستیم که چنین کرانی صورتی از abc را نتیجه می‌دهد. خود این راهبرد را پارشین (Parshin) و سپس موره-بایی پیشنهاد کرده بودند. سوله آن را به انجام می‌رساند:

1. ساختاری از کودایرا (Kodaira) به خم گونای 2 یک خانوادهٔ کامل از خم‌های گونای 6 نسبت می‌دهد.
2. کمیتی که روی هر خم از این خانواده سنجیده می‌شود، «خودبرخورد» (self-intersection) حسابی‌اش، معلوم می‌شود که یک ارتفاع است. قضیهٔ مرکزی برای آن سقفی با ضریب 36 + ε می‌گذارد.
3. برای رسیدن به آنجا، مقاله نظریهٔ برخورد برای رویه‌های حسابی (arithmetic surfaces)، قضیهٔ مینکوفسکی دربارهٔ کمینه‌های متوالی، و محاسباتی روی خم‌های گونای 3 و 6 را که «به کمک» ووازن (Voisin) انجام شده‌اند با هم ترکیب می‌کند.

نمای 24 سپس از یک خم مشخص بیرون می‌آید: y² + y = x⁵. از راه نگاشت درجهٔ 5 آن روی خط، ضریب 12 به 5/2 × 12 = 30 تبدیل می‌شود؛ سپس برآوردی از یک مبیّن آن را در 4/5 ضرب می‌کند و 24 به دست می‌آید.

پیامدها، با ثابت‌هایی ضعیف‌تر

به گفتهٔ مقاله، پیامدهای شناخته‌شدهٔ abc نیز «با ثابت‌هایی ضعیف‌تر» از نتایج آن به دست می‌آیند. مقاله دو نمونه را اثبات می‌کند:

• صورتی ضعیف از حدس شپیرو (Szpiro) دربارهٔ خم‌های بیضوی، با ضریب 144 (1 + log 24) + ε؛
• نبودِ به‌اصطلاح صفرهای زیگل (Siegel zeros) برای خانواده‌ای از تابع‌های نظریهٔ اعداد، یعنی تابع‌های L مشخصه‌های درجهٔ دوم با مبیّن منفی — با استدلالی از گرانویل و استارک (Granville و Stark)، که به گفتهٔ مقاله، با نمایی غیر از 1 + ε نیز کار می‌کند. مقاله همچنین به دو پیش‌چاپ تازهٔ دیگر دربارهٔ این پرسش ارجاع می‌دهد.

هنوز باید بررسی شود

این اثباتی 39 صفحه‌ای از یک نویسندهٔ تنهاست، نوشته‌شده به زبان پیشرفتهٔ هندسهٔ حسابی، و هنوز از داوری همتا نگذشته است. نویسنده از 26 همکار برای کمکشان سپاسگزاری می‌کند، اما این به آن معنا نیست که آن‌ها اثبات را بررسی کرده‌اند. مقاله نمی‌گوید که آیا ثابت A(ε) را می‌توان به‌طور صریح محاسبه کرد یا نه.

اگر استدلال درست باشد، حاصل‌جمع‌های a + b = c سقفی با نمایی ثابت خواهند داشت: نه هنوز آن نمایی که حدس می‌طلبد، بلکه 24.